Линейна зависимост и независимост

на вектори в равнината и пространството

Линейната зависимост и независимост са фундаментални концепции в линейната алгебра, които ни помагат да разберем структурата на векторните пространства (като равнината и пространството).

Линейна комбинация

Нов вектор $\mathbf{w}$ е линейна комбинация на векторите $\mathbf{v}_1$ и $\mathbf{v}_2$, ако може да бъде изразен като:

където $k_1$ и $k_2$ са скалари (числа).

Линейна зависимост и независимост

• Линейна независимост (ЛН): Множество от вектори $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \dots\}$ се нарича линейно независимо, ако единственият начин да се получи нулевият вектор $\mathbf{0}$ като тяхна линейна комбинация е, когато всички скалари са нула.
  $$\lambda_1 \mathbf{v}_1 + \lambda_2 \mathbf{v}_2 + \dots + \lambda_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$$

  е изпълнено само когато:

  $$\lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_k = 0$$

  (Така нареченото тривиално решение).

• Линейна зависимост (ЛЗ): Ако съществува поне един скалар, който не е нула, за да се получи нулевият вектор, то векторите са линейно зависими.
  • Това означава, че уравнението $\lambda_1 \mathbf{v}_1 + \lambda_2 \mathbf{v}_2 + \dots + \lambda_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$ има нетривиални решения.
  • При ЛЗ, поне един от векторите може да бъде изразен като линейна комбинация на останалите.

Вектори в равнината ($\mathbb{R}^2$, двумерно пространство)

1. Един вектор

• Единствен ненулев вектор $\mathbf{v}$ винаги е линейно независим.

2. Два вектора $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}$

• Линейна зависимост: Ако са колинеарни (успоредни или лежат на една права).
  • Това означава, че $\mathbf{v}_1 = k \cdot \mathbf{v}_2$.
• Линейна независимост: Ако не са колинеарни (не са успоредни).
  • Тези два вектора образуват базис на равнината.

3. Три и повече вектори

• Линейна зависимост: В равнината всеки три или повече вектора винаги са линейно зависими.
  • Равнината има размерност 2.

Вектори в пространството ($\mathbb{R}^3$, тримерно пространство)

1. Два вектора $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}$

• Линейно зависими са, ако са колинеарни.
• Линейно независими са, ако не са колинеарни.

2. Три вектора $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}$

• Линейна зависимост: Ако са компланарни (лежат в една и съща равнина).
• Линейна независимост: Ако не са компланарни (не лежат в една равнина).
  • Тези три вектора образуват базис на пространството.

3. Четири и повече вектори

• Линейна зависимост: В пространството всеки четири или повече вектора винаги са линейно зависими.
  • Пространството има размерност 3.

Метод за проверка (чрез координати)

1. Два вектора $\mathbf{v}_1(x_1; y_1)$ и $\mathbf{v}_2(x_2; y_2)$ в равнината:

• ЛЗ (колинеарни): Ако съответните им координати са пропорционални: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$.
• ЛН: Ако пропорцията не е вярна.

2. Аналитична проверка (чрез решаване на система)

Винаги се решава уравнението:

• Ако единственото решение е тривиалното ($\lambda_1 = \lambda_2 = \dots = 0$), векторите са ЛН.
• Ако съществуват нетривиални решения, векторите са ЛЗ.

3. Проверка чрез детерминанта (когато броят на векторите $k$ е равен на размерността $n$)

1. Съставете квадратна матрица $\mathbf{A}$, като поставите векторите като стълбове (или редове).
2. Пресметнете детерминантата $det(\mathbf{A})$.

• Ако $det(\mathbf{A}) \ne 0$, векторите са ЛН.
• Ако $det(\mathbf{A}) = 0$, векторите са ЛЗ (което в $\mathbb{R}^3$ означава компланарност).

Въпроси за линейна зависимост и независимост на вектори

Основни понятия и дефиниции

1. Линейна комбинация: Опишете с прости думи какво представлява линейната комбинация на два или повече вектора.
2. Условие за ЛН: Какво е условието, при което един набор от вектори $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots\}$ се нарича линейно независим?
3. Условие за ЛЗ: Какво е условието, при което един набор от вектори се нарича линейно зависим?
4. Стойност на скаларите при ЛН: Каква трябва да бъде стойността на всички скалари $\lambda_1, \lambda_2, \dots,$ за да бъде един набор от вектори линейно независим?
5. Роля на нулевия вектор: Каква е ролята на нулевия вектор $\mathbf{0}$ при определянето на линейната зависимост на един набор?

Вектори в равнината (двумерно пространство)

6. ЛЗ на два вектора: Кога два вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ в равнината са линейно зависими? Какъв е техният геометричен вид?
7. Колинеарност и координати: Ако два вектора в равнината са колинеарни, каква е връзката между техните съответни координати (напр. $x_1, x_2, y_1, y_2)$?
8. Един вектор: Може ли един единствен ненулев вектор $\mathbf{v}$ в равнината да бъде линейно зависим? Обяснете защо.
9. Три вектора в равнината: Какво може да се каже за линейната зависимост на всеки три вектора в равнината?
10. ЛН и линейна комбинация: Ако векторите $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ са линейно независими, може ли да се изрази $\mathbf{a}$ като $k \cdot \mathbf{b}$? Обяснете.

Вектори в пространството (тримерно пространство)

11. Геометричен критерий за ЛЗ: Какъв е геометричният критерий за линейна зависимост на три вектора $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\}$ в пространството?
12. Компланарност: Какво означава векторите да са компланарни? Каква е връзката им с линейната зависимост?
13. ЛН и равнина: Ако три вектора в пространството са линейно независими, могат ли те да лежат в една равнина?
14. Четири вектора в $\mathbb{R}^3$: Какво може да се каже за линейната зависимост на всеки четири вектора в тримерното пространство?
15. Максимален брой ЛН вектори: Каква е максималната бройка линейно независими вектори, които могат да бъдат намерени в пространството?

Приложения

16. Добавяне на линейна комбинация: Ако векторите $\mathbf{v}_1$ и $\mathbf{v}_2$ са линейно независими, и вектор $\mathbf{w}$ е тяхна линейна комбинация, тогава наборът $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{w}\}$ е линейно зависим или линейно независим?
17. ЛЗ и представяне: Един набор от вектори е линейно зависим. Какво означава това за възможността поне един от векторите да бъде изразен чрез останалите?
18. Два неуспоредни вектора в $\mathbb{R}^3$: Ако два вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ в пространството не са успоредни, то те са линейно независими. Може ли да се каже, че произволен вектор $\mathbf{c}$ е задължително тяхна линейна комбинация?
19. Проверка в равнината: В равнината имаме вектори $\mathbf{a}(x_1; y_1)$ и $\mathbf{b}(x_2; y_2)$. Ако $x_1/x_2 = 3/4$ и $y_1/y_2 = 3/4$, то векторите линейно зависими или независими са?
20. Базис: Какво се нарича множеството от линейно независими вектори, които могат да представят всеки друг вектор в пространството?

Задачи

Ниво 1: Основни (проверка на колинеарност)

1. Равнина: Дадени са векторите $\mathbf{a}(2; 4)$ и $\mathbf{b}(1; 2)$. Определете дали те са линейно зависими.
2. Равнина: Дадени са векторите $\mathbf{u}(3; -1)$ и $\mathbf{v}(-6; 2)$. Линейно зависими или независими са?
3. Равнина: Дадени са векторите $\mathbf{c}(5; 0)$ и $\mathbf{d}(0; 8)$. Линейно зависими или независими са?
4. Пространство: Дадени са векторите $\mathbf{p}(1; 0; 0)$ и $\mathbf{q}(5; 0; 0)$. Определете тяхната линейна зависимост.
5. Нулев вектор: Даден е вектор $\mathbf{m}(4; 7)$ и нулевият вектор $\mathbf{0}$. Наборът $\{\mathbf{m}, \mathbf{0}\}$ ЛЗ ли е?

Ниво 2: Средни (проверка на компланарност и базис)

6. Равнина: Дадени са три вектора в равнината $\mathbf{a}(1; 1)$, $\mathbf{b}(-1; 2)$ и $\mathbf{c}(3; 5)$. Определете тяхната линейна зависимост.
7. Пространство: Дадени са векторите $\mathbf{e}_1(1; 0; 0)$, $\mathbf{e}_2(0; 1; 0)$ и $\mathbf{e}_3(0; 0; 1)$. Линейно зависими или независими са?
8. Пространство: Дадени са векторите $\mathbf{u}(1; 2; 3)$ и $\mathbf{v}(2; 4; 6)$. Определете тяхната линейна зависимост.
9. Равнина (координатна зависимост): Даден е вектор $\mathbf{a}(x; 6)$ и $\mathbf{b}(2; 3)$. Намерете стойността на $x$, за която $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ са линейно зависими.
10. Пространство (компланарност): Дадени са векторите $\mathbf{a}(1; 0; 0)$, $\mathbf{b}(0; 1; 0)$ и $\mathbf{c}(2; 3; 0)$. Линейно зависими ли са? Обяснете геометрично.
11. Пространство: Дадени са четири вектора $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$ в тримерното пространство. Какво може да се каже за тяхната линейна зависимост?
12. Линейна комбинация: В пространството имаме линейно независими вектори $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$. Ако $\mathbf{w} = 2\mathbf{u} – 3\mathbf{v}$, зависим ли е наборът $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\}$?

Ниво 3: Предизвикателни

13. Равнина: Дадени са $\mathbf{a}(4; -2)$ и $\mathbf{b}(m; 1)$. Намерете стойността на скалара $m$, за която векторите са линейно независими.
14. Пространство (базис): Наборът $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}$ е базис на пространството. Какво може да се каже за линейната независимост на този набор?
15. Пространство: Дадени са векторите $\mathbf{v}_1(1; 1; 1)$, $\mathbf{v}_2(0; 1; 1)$ и $\mathbf{v}_3(0; 0; 1)$. Определете дали този набор е линейно независим.
16. Пространство (проверка за колинеарност): Векторите $\mathbf{p}(2; y; -4)$ и $\mathbf{q}(4; -6; z)$ са линейно зависими. Намерете стойностите на $y$ и $z$.
17. Геометрична интерпретация: Ако три вектора в пространството са линейно зависими, какъв обем (равен на нула или различен от нула) определя паралелепипедът, построен върху тях?
18. Линейна комбинация и обратимост: В равнината имаме $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$. Ако $\mathbf{a}$ не е колинеарен на $\mathbf{b}$, може ли всеки друг вектор $\mathbf{c}$ да бъде представен като $\mathbf{c} = x \cdot \mathbf{a} – y \cdot \mathbf{b}$?
19. Теоретичен въпрос: Един набор от $n$ вектора е линейно зависим. Докажете, че поне един от векторите в набора може да бъде изразен като линейна комбинация на останалите.
20. Размерност: Кое е най-голямото цяло число $k$, за което може да се гарантира, че всеки $k$ вектора в четиримерно пространство са линейно независими?
21. Скаларно произведение в пространството: Дадени са вектори $\mathbf{a}(3; 0; -2)$ и $\mathbf{b}(1; 5; 4)$. Изчислете скаларното произведение $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$.

 Защо тази тема е важна?

• Размерност: Линейната независимост ни позволява да разберем истинската размерност на едно пространство или подпространство.
• Идентифициране на излишъци: За да опишем едно двумерно пространство (равнина), имаме нужда от точно два линейно независими вектора. Добавянето на трети вектор е „излишно“ (ЛЗ).
• Базис: Линейно независима система от вектори, която обхваща цялото пространство, се нарича базис.
• ЛН и уникалност: Векторите са ЛН, когато уравнението $\lambda_1 \mathbf{v}_1 + \dots = \mathbf{0}$ има само тривиално решение. Това пряко кореспондира със случай, при който система линейни уравнения има точно едно решение.
• ЛЗ и множество решения: Когато векторите са ЛЗ, уравнението има безброй много решения.

Приложение в реалния свят:

• Компютърна графика: Базисът от ЛН вектори е в основата на всяка координатна система.
• Статистика и машинно обучение: Важно е да се премахне мултиколинеарността (ЛЗ между променливи), за да се избегнат нестабилни модели.
• Инженерни науки (например статика): При анализ на сили, трябва да се уверим, че наборът от сили, действащи върху дадена конструкция, не е ЛЗ.
• Оптимизация: ЛН на ограниченията е ключова за намиране на оптимални решения.

Накратко, линейната независимост е инструментът, с който преброяваме измеренията, гарантираме уникалност и откриваме излишъци във всяка една векторна система.