Координати на точка, разстояния, среда на отсечка, медицентър

Започваме Аналитичната геометрия (Геометрия с координати). Тя свързва алгебрата и геометрията, като позволява геометрични обекти (точки, отсечки, фигури) да бъдат описвани и анализирани с помощта на числа.

1. Координати на Точка

В правоъгълна (Декартова) координатна система всяка точка $A$ в равнината се определя еднозначно с наредена двойка числа $(x_A; y_A)$, където $x_A$ е абсцисата (координатата по $Ox$ оста), а $y_A$ е ординатата (координатата по $Oy$ оста). Началото на системата е точка $O(0; 0)$.

2. Разстояние между Две Точки (Дължина на отсечка)

Разстоянието $d(A, B)$ между две точки $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ се намира като дължина на хипотенуза в правоъгълен триъгълник, чиито катети са проекциите на отсечката върху координатните оси.

3. Среда на Отсечка

Координатите $M(x_M; y_M)$ на средата $M$ на отсечката $AB$ се намират като средноаритметично на съответните координати на крайните точки:

4. Медицентър на Триъгълник

Медицентърът $G$ (центърът на тежестта) е пресечната точка на медианите в триъгълника. Координатите му $G(x_G; y_G)$ се изчисляват като средноаритметично на координатите на трите върха $A(x_A; y_A)$, $B(x_B; y_B)$, $C(x_C; y_C)$:

Аналитичната геометрия е гръбнакът на много съвременни технологии и науки:

• Компютърна графика и Гейминг: Всички обекти и движения в 2D и 3D светове се описват чрез координати и вектори. Формулите за разстояние, среда и медицентър се използват за откриване на сблъсъци, центриране на обекти и др.
• Навигационни системи (GPS): GPS работи изцяло на принципа на координатите и изчисляването на разстояния между точки (сателити и приемник).
• Инженерство и Архитектура: Геодезията и строителството използват координатни системи за точно позициониране на обекти и измерване на терени.
• Физика (кинематика): Движението на телата се описва чрез промяна на техните координати във времето.

Задачи

1. Намерете разстоянието между точките $A(-1; 3)$ и $B(5; -5)$.
2. Намерете координатите на средата $M$ на отсечката $AB$ от задача 1.
3. Дадени са $C(2; 1)$, $D(-4; 7)$. Намерете дължината на отсечката $CD$.
4. Дадени са върховете на $\triangle ABC$: $A(0; 2)$, $B(3; 5)$, $C(6; 2)$. Намерете медицентъра $G$ на триъгълника.
5. Ако $M(2; -1)$ е среда на отсечка $AB$ и $A(4; 5)$, намерете координатите на точка $B$.
6. Намерете периметъра на триъгълник с върхове $P(1; 0)$, $Q(4; 0)$, $R(1; 4)$.
7. Проверете дали точките $K(1; 1)$, $L(3; 3)$, $N(4; 4)$ са колинеарни (лежат на една права).
8. Коя е по-близка до началото $O(0; 0)$: $P(2; 3)$ или $Q(4; 1)$?
9. Намерете координатите на точка $A$ от оста $Ox$, която е на разстояние $d=5$ от точка $B(1; 4)$.
10. Дадени са $A(1; 1)$, $B(3; 3)$, $C(5; 5)$. Докажете, че точките са колинеарни.

…

11. Даден е $\triangle ABC$ с върхове $A(1; -2)$, $B(3; 4)$, $C(-1; 6)$. Намерете дължината на медианата $m_a$ към страната $BC$.
12. Даден е успоредник $ABCD$. Ако $A(-2; 1)$, $B(3; 5)$, $C(6; 2)$, намерете координатите на върха $D$. (Използвайте свойството на диагоналите.)
13. Дадени са $A(x; 2)$ и $B(3; 8)$. Ако разстоянието $d(A, B) = \sqrt{40}$, намерете възможните стойности за $x$.
14. Точки $A(-3; 0)$, $B(5; 0)$, $C(1; y)$ са върхове на равнобедрен триъгълник с основа $AB$. Намерете $y$.
15. Намерете координатите на точките, които делят отсечката $AB$ с $A(2; 1)$ и $B(8; 7)$ на три равни части.
16. Дадени са точки $A(1; 3)$, $B(7; 5)$, $C(4; 9)$. Докажете, че $\triangle ABC$ е равнобедрен и намерете дължината на височината към основата.
17. Дадени са $A(x; 4)$, $B(2; y)$, $M(5; -1)$ – средата на $AB$. Намерете $x$ и $y$.
18. В $\triangle ABC$ медицентърът е $G(0; 0)$. Ако $A(3; 2)$ и $B(-5; -1)$, намерете координатите на върха $C$.
19. Докажете, че четириъгълникът с върхове $A(1; 1)$, $B(3; 5)$, $C(7; 3)$, $D(5; -1)$ е ромб.
20. Намерете точка $P$ на оста $Oy$, която е на равни разстояния от $A(1; 2)$ и $B(5; 4)$.

Комбинирани Задачи с Вектори

1. Дадени са точки $A(1; 2)$ и $B(4; 6)$. Намерете координатите на вектора $\vec{AB}$ и дължината му $|\vec{AB}|$. Сравнете с разстоянието $d(A, B)$.
2. Намерете координатите на точка $C$, така че $\vec{AC} = 2 \cdot \vec{AB}$, където $A(-1; 3)$, $B(2; 5)$.
3. Дадени са векторите $\vec{a} = (2; -1)$ и $\vec{b} = (-3; 4)$. Намерете координатите на вектора $\vec{c} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ и дължината му.
4. Точки $A(x; y)$, $B(4; 1)$, $C(1; 3)$ са върхове на триъгълник. Ако $\vec{AB} + \vec{AC} = (1; -4)$, намерете $x$ и $y$.
5. Докажете, че векторите $\vec{a} = (3; -2)$ и $\vec{b} = (-6; 4)$ са колинеарни, без да използвате ъглов коефициент на права.
6. Дадени са $A(0; 1)$, $B(2; 3)$. Намерете координатите на точка $M$, която дели отсечката $AB$ в отношение $2:1$ (т.е., $\vec{AM} = 2 \cdot \vec{MB}$).
7. В $\triangle ABC$ медианата към $BC$ е $m_a$. Изразете вектора $\vec{AM_a}$ чрез $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. (Тук $M_a$ е средата на $BC$).
8. Намерете скаларното произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$, ако $\vec{a} = (1; 5)$ и $\vec{b} = (-3; 2)$. Проверете дали векторите са перпендикулярни.
9. Използвайте вектори, за да докажете, че четириъгълникът с върхове $A(1; 2)$, $B(4; 4)$, $C(5; 1)$, $D(2; -1)$ е успоредник.
10. В $\triangle ABC$ медицентърът $G$ е определен от $\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$. Ако $A(2; 1)$, $B(5; 4)$, $C(-1; 7)$, проверете дали тази векторна формула дава същия резултат като формулата за координати на медицентър.

Доказателства и отговори