Конспект по Математика – Профилирана Подготовка XI клас

В 11. клас се изучават Модул 1 (Геометрия) и Модул 2 (Елементи на математическия анализ), като за всеки модул са предвидени 72 учебни часа годишно.

I. МОДУЛ 1: ГЕОМЕТРИЯ (XI клас)

Основната цел е векторно-аналитично изучаване на планиметрията и стереометрията.

1. Вектори и Координати

Линейна зависимост и независимост на вектори в равнината и пространството.
Векторна база в равнината и пространството. Разлагане на вектор като линейна комбинация.
Скаларно произведение на два вектора. Свойства.
Приложение: Намиране на дължина на вектор и ъгъл между два вектора.
Координати на вектор в равнинна правоъгълна координатна система. Намиране на координати на точка и разстояние между две точки.
Операции с вектори, зададени с координати (сбор, произведение с число, скаларно произведение, ъгъл между вектори).

2. Аналитична геометрия в равнината

Уравнение на права: Общо и декартово уравнение, ъглов коефициент.
Взаимно положение на две прави: Условия за успоредност и перпендикулярност. Намиране на ъгъл между две прави.
Приложение: Координати на среда на отсечка и медицентър на триъгълник. Намиране на уравнения на страни, височини и медиани на триъгълник. Периметър и лице на триъгълник чрез координати.
Канонично уравнение на окръжност. Намиране на пресечни точки с права.
Канонични уравнения на елипса, хипербола и парабола (елементи, фокусни разстояния, върхове, център).

3. Стереометрия

Първични понятия и аксиоми. Взаимно положение на точки, прави и равнини.
Успоредност в пространството (между права и равнина, между две равнини).
Перпендикулярност в пространството (между права и равнина).Теорема за трите перпендикуляра.
Двустенен ъгъл. Перпендикулярност на две равнини. Разстояние между точка и равнина.
Многостени: Призма и пирамида (елементи и свойства).
Сечение на многостен с равнина. Пресечена пирамида. Връзка между лице на многоъгълник и неговата ортогонална проекция.
Ос на кръстосани прави. Намиране на разстояние между две кръстосани прави.
Ротационни тела: Цилиндър, конус, сфера, кълбо (елементи и свойства). Осно сечение, успоредно сечение.

II. МОДУЛ 2: ЕЛЕМЕНТИ НА МАТЕМАТИЧЕСКИЯ АНАЛИЗ (XI клас)

Основната цел е изучаване на някои елементи на математическия анализ и придобиване на основни изчислителни умения.

1. Полиноми на една променлива

Определение. Операции с полиноми (събиране, изваждане, умножение, деление).
Теорема на Безу.
Схема на Хорнер за разлагане на полиноми.
Нули (корени) на полином. Рационални корени на уравнения с цели коефициенти.
Реципрочно уравнение (решаване до 6-та степен включително).
Решаване на уравнения и неравенства от по-висока степен.

2. Числови редици

Метод на математическата индукция (за доказване на формули и тъждества).
Нютонов бином и триъгълник на Паскал.
Числови редици: Монотонност и ограниченост.
Граница на числова редица (сходящи и разходящи редици).
Теореми за граници на числови редици.
Сума на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

3. Функции.

Непрекъснатост и Диференцируемост

Функция: Понятие, начини на задаване. Видове (ограничена/неограничена, растяща/намаляваща, четна/нечетна, периодична/непериодична).
Съставна (сложна) функция.
Граница на функция (лява/дясна граница).
Основни граници на функции.
Непрекъснатост на функция в точка и интервал. Точка на прекъсване.
Производна на функция (диференчно частно).
Таблични производни.
Теореми за диференцируемост. Производна на съставна функция.
Връзка между непрекъснатост и диференцируемост.

Модули за XII клас

Следните модули се изучават в XII клас и НЕ са част от програмата за XI клас:

Модул 3: Практическа математика (72 часа в XII клас) : Фокусира се върху приложения на анализа (втора производна, изпъкналост, инфлексни точки, пълно изследване на функции, екстремални задачи) и комбинаторика с повторения.
Модул 4: Вероятности и анализ на данни (52 часа в XII клас) : Включва формула на Бейс, случайна величина, Математическо очакване и Дисперсия, Биномно и Нормално разпределение, статистически изводи и линеен модел.