Квадратни и кубични неравенства и системи - Школа по математика София-Мат

Квадратните и кубичните неравенства не са просто сухи формули. Те описват форми:

Квадратните неравенства ( $ax^2 + bx + c > 0$ ) са като параболи – усмихнати или тъжни лица. Те ни казват кога един снаряд е над определена височина или кога бизнесът излиза на печалба.
Кубичните неравенства ( $ax^3 + bx^2 + cx + d < 0$ ) са „змиевидни“. Те имат по-сложно поведение и често описват промени в ускорението или сложни финансови цикли.
Системите неравенства са математическото „сито“ – те търсят онова тясно пространство, в което всички условия са изпълнени едновременно.

1. Основни задачи

Тези са за загрявка – директно приложение на метода на интервалите.

$x^2 - 5x + 6 > 0$
$x^2 + 4x + 4 \le 0$
$x^2 - 9 < 0$
$-x^2 + 3x + 10 \ge 0$
$x(x - 1)(x + 2) > 0$
$x^3 - x \le 0$
$(x - 3)^2(x + 1) > 0$
$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x < 3 \end{cases}$
$x^2 - 7x + 12 \le 0$
$x^3 + 2x^2 - x - 2 < 0$

2. По-трудни задачи

Тук добавяме параметри, модули и малко по-засукано разлагане.

$(x^2 - 1)(x^2 - 5x + 6) \ge 0$
$\frac{x^2 - 4}{x - 1} < 0$
$x^4 - 5x^2 + 4 > 0$
$|x^2 - 3| < 1$
$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 \ge 0$
$(x^2 + x + 1)(x - 2) < 0$
$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \le 0 \\ x^2 - 4 \ge 0 \end{cases}$
$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 > 0$
$\frac{1}{x} < x$
$x^2 - (a+1)x + a < 0$ за произволен параметър $a$ .
$|x^2 - x| > 2$
$x^3 - 7x + 6 \le 0$
$(x-1)^3(x+2)^2(x-3) \le 0$
$\begin{cases} x^2 - 9 < 0 \\ x^2 - x - 2 > 0 \end{cases}$
$\frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + 1} \ge 0$
$x^4 - 10x^2 + 9 \le 0$
$\sqrt{x^2 - 4} < 5$ (внимавай с дефиниционната област!)
$x^3 + x^2 + x + 1 > 0$
$\frac{(x-1)(x-2)}{x-3} \ge 0$
$a x^2 - 1 > 0$ при $a < 0$ .

3. Практични задачи

Математиката в реалния живот.

Печалбата на фирма се описва с $P(x) = -2x^2 + 120x - 1000$ евро, където $x$ е броят продадени единици. При какъв брой продажби печалбата е над $600,00$ евро?
Топка е хвърлена нагоре с височина $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$ . В кой интервал от време височината ѝ е над $12,0$ метра?
Производствените разходи са $C(x) = x^3 - 10x^2 + 30x$ евро. За кои стойности на $x$ разходите са по-малко от $200,00$ евро?
Правоъгълен парцел има обиколка $40,0$ метра. За какви дължини на страната $x$ лицето му е поне $75,0$ кв. м?
Инвестиция расте по формулата $V(t) = t^2 + 0,5t + 100$ евро. Кога стойността ще надвиши $150,50$ евро?
Два продукта се конкурират. Търсенето на единия е $D_1 = 100 - p^2$ , а на другия $D_2 = 20 + p$ . За кои цени $p$ (в евро) първият е по-търсен?
Дизайн на кутия изисква обем $V = x(10-2x)(15-2x)$ . Ако обемът трябва да е над $100,0$ куб. см, намери ограниченията за $x$ .
Спирачният път на кола е $d = 0,05v^2 + 0,2v$ . Ако искаме спирачният път да е под $30,0$ метра, каква трябва да е скоростта $v$ ?
Приходите от концерт са $R(p) = -10p^2 + 500p$ евро при цена на билета $p$ . Кога приходите са между $4000,00$ и $6000,00$ евро?
Метална пластина се разширява така, че площта ѝ е $A(t) = 0,02t^2 + t + 50$ кв. мм. Кога площта е над $80,0$ кв. мм?

4. Предизвикателни и състезателни задачи

За тези ще ти трябва „тежката артилерия“ – полагане, изследване на функции и логика.

Решете неравенството: $(x^2 - x - 1)^2 - (x^2 - x - 7) < 0$
Намерете всички цели стойности на $n$ , за които $n^3 - 3n^2 + 2n$ е кратко на $6$ и е по-малко от $100$ .
За кои стойности на $a$ неравенството $x^2 + ax + 1 > 0$ е вярно за всяко $x$ ?
Докажете, че за всяко реално $x$ : $x^4 - x^2 - 2x + 2 \ge 0$ .
Решете $\frac{x^3 + 3x^2 - x - 3}{x^2 - 4} \le 0$ .
Намерете най-малката цяла стойност на $k$ , за която $kx^2 - 4x + k > 0$ за всяко $x$ .
Решете в цели числа: $x^2 + y^2 \le 2x + 2y - 1$ .
Дадено е $x^3 - px + q = 0$ с корени $x_1, x_2, x_3$ . Кога $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 > 10$ ?
Намерете интервалите на $x$ за $\sqrt{x^3 - x} > x - 1$ .
Решете $\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} > \frac{3}{x-3}$ .
За кои стойности на $m$ системата $\begin{cases} x^2 - 1 \le 0 \\ x > m \end{cases}$ няма решение?
Нека $f(x) = x^2 + px + q$ . Ако $f(1) \le 0$ и $f(2) \ge 3$ , какви са границите на $p$ ?
Решете $|x^3 - 1| \le x^2 + x + 1$ .
Докажете, че ако $a+b+c > 0$ и $ab+bc+ca > 0$ и $abc > 0$ , то $a, b, c$ са положителни (връзка с кубично уравнение).
Решете $x^2 + \frac{1}{x^2} - 3(x + \frac{1}{x}) + 4 \le 0$ .
Колко цели числа са решения на $\frac{(x^2-16)\sqrt{x+3}}{x-5} \le 0$ ?
Решете неравенството $x^6 - 9x^3 + 8 < 0$ .
Намерете $a$ , така че обединението на решенията на $x^2 - 3x + 2 \le 0$ и $x^2 - ax + a - 1 \le 0$ да е интервал с дължина $3$ .
Решете $\frac{|x^2 - 4x| + 3}{x^2 + |x-5|} < 1$ .
Намерете всички реални $x$ , за които $\lfloor x^2 \rfloor - 3\lfloor x \rfloor + 2 = 0$ (където $\lfloor \cdot \rfloor$ е цяла част).

Бонус: Комбинирани предизвикателства

Тригонометричен микс: Решете неравенството $2\sin^2(x) - 5\sin(x) + 2 \le 0$ за $x \in [0; 2\pi]$ . (Жокер: Положи $\sin(x) = u$ ).
Логаритмична парабола: Намерете дефиниционната област и решете $\log_{0,5}(x^2 - 5x + 7) > 0$ . Внимавайте с посоката на знака, защото основата е под $1,0$ !
Геометричен хаос: Страните на триъгълник са $x$ , $x+2$ и $x+4$ . За кои стойности на $x$ триъгълникът е тъпоъгълен? (Използвайте неравенството на триъгълника и Питагоровата теорема: $a^2 + b^2 < c^2$ ).
Експоненциална „кубика“: Решете $8^x - 7 \cdot 4^x + 14 \cdot 2^x - 8 \le 0$ . (Положи $2^x = y$ и ще получиш кубично неравенство).
Ирационална битка: Решете неравенството $\sqrt{x^2 - 3x + 2} < x + 5$ . Не забравяйте да определите кога изразът под корена е неотрицателен!
Параметричен сблъсък: Намерете всички стойности на параметъра $a$ , за които системата $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 1 \\ y \ge x^2 + a \end{cases}$ има точно едно решение.
Прогресии и граници: Три числа формират растяща аритметична прогресия. Тяхната сума е $15,0$ . Ако добавим $1, 4, 19$ съответно към тях, получаваме геометрична прогресия. Намерете числата, ако средното трябва да удовлетворява $x^2 - 6x + 5 \le 0$ .
Модулна кубична функция: Решете $\frac{|x^3 - 1|}{x^2 - 9} \le 0$ . Внимавайте с точките, в които знаменателят е нула.
Екстремуми и анализ: Дадена е функцията $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 10$ . Намерете интервалите на $x$ , в които функцията е намаляваща и едновременно с това стойността ѝ е положителна ( $f(x) > 0$ ).
Финансов инженеринг: Инвестиционен фонд анализира два портфейла. Рискът на първия е $R_1 = x^2 - 4x + 10$ евро, а на втория $R_2 = 2x + 1$ евро. Намерете стойностите на коефициента $x$ , при които общият риск $R_1 + R_2$ е под $12,00$ евро, но индивидуалният риск на първия портфейл е поне $6,00$ евро.