Капитал и лихва

Как се смятат банковите влогове и кредитите? Математиката в училище трябва да ни подготви за реалния свят и как ‘работят’ парите.

1. Основни понятия

За да решиш всяка задача, първо трябва да разпознаеш следните елементи:

• Начален капитал ($K_0$): Сумата, която внасяш в банката (или вземаш назаем) в началото.

• Лихвен процент ($p$): Процентът, с който се увеличава сумата за определен период (обикновено една година).

• Лихва ($L$): Чистата сума (парите), която банката ти плаща за това, че държиш парите си там, или сумата, която ти плащаш на банката за заем.

• Краен капитал ($K$): Общата сума след изтичане на периода (Начален капитал + Лихва).

2. Формули за проста лихва

В 7. клас най-често се изучава проста лихва. При нея лихвата се изчислява само върху първоначално внесената сума. Ако искаш да научиш и за сложна лихва, виж тук.

Формула за лихвата за 1 година:

Формула за крайния капитал след 1 година:

(Или обединено: $K = K_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})$)

Лихва за част от годината (месеци):

Ако парите стоят в банката само $n$ на брой месеца:

3. Примерни задачи

Тип А: Намиране на крайния капитал

Задача: Внасяте 2000 евро в банка при годишна лихва 3%. Колко евро ще имате в сметката си след една година?

Решение:

1. Намираме лихвата: $L = \frac{2000 \cdot 3}{100} = 60$ е.

2. Намираме крайния капитал: $K = 2000 + 60 = 2060$ е.

Тип Б: Намиране на началния капитал

Задача: След една година влогът на Иван нарастнал с 45 е. при лихвен процент 1,5%. Колко евро е бил началният му влог?

Решение:

Тук 45 е. е самата лихва ($L$).

$45 = \frac{K_0 \cdot 1,5}{100}$

$4500 = K_0 \cdot 1,5$

$K_0 = 4500 : 1,5 = 3000$ е.

4. Как да не се бъркаш?

• Внимавай за периода: Винаги проверявай дали се иска лихва за година или за месеци. Ако са месеци, задължително делиш на 12.

• Разграничавай „Лихва“ от „Крайна сума“: Ако в задачата пише „с колко се е увеличил капиталът“, търсиш само лихвата ($L$). Ако пише „каква сума има в края на периода“, търсиш крайния капитал ($K$).

Част 1: Основни задачи

1. Намиране на лихва: Внасяте 1500 евро (е.) на влог с 2% годишна лихва. Колко е. ще бъде лихвата след 1 година?
2. Намиране на сума: Влог от 4000 е. е внесен при 1,5% лихва. Каква ще бъде общата сума в сметката след 1 година в е.?
3. Лихва за половин година: На влог са внесени 2400 е. при 3% годишна лихва. Колко е. е лихвата за 6 месеца?
4. Месечна лихва: Колко евроцента (е.ц.) е лихвата върху 1200 е. за 1 месец, ако годишният лихвен процент е 4%?
5. Намиране на процент: От влог от 5000 е. за една година е получена лихва 150 е. Колко процента е годишната лихва?
6. Намиране на начален капитал: Лихвата по влог при 2% годишно за една година е 40 е. Колко е. е първоначалната сума?
7. Намиране на капитал по крайна сума: В края на годината сумата по влог станала 1030 е., като лихвата е била 3%. Колко е. е бил началният капитал?
8. Сравнение: Кое е по-изгодно като сума на лихвата: 1000 е. при 4% лихва или 2000 е. при 2% лихва за една година?
9. Заем: Фирма взема заем от 10 000 е. с 6% годишна лихва. Колко е. лихва ще плати фирмата за 3 месеца?
10. Обратна задача за месеци: За колко месеца 3000 е. ще донесат лихва от 30 е. при 2% годишна лихва?

Част 2: По-сложни задачи

1. Данък върху лихвата: Внасяте 5000 е. при 3% лихва. Държавата удържа 10% данък върху самата лихва. Колко е. чисто ще получите като лихва в края на годината?

2. Разделяне на сума: Разполагате с 10 000 е. Едната част внасяте при 2% лихва, а другата – при 4%. Общата лихва за годината е 320 е. По колко е. има във всеки влог?

3. Промяна на лихвата: Внасяте 2000 е. За първите 6 месеца лихвата е 2%, а за следващите 6 месеца банката я вдига на 3%. Колко е. ще имате след 1 година? (Смята се като проста лихва върху началната сума).

4. Довнасяне: Внасяте 3000 е. при 2% лихва. След 6 месеца внасяте още 1000 е. Колко е. лихва ще имате общо в края на годината?

5. Две банки: Банка А предлага 2,5% лихва, но таксата за обслужване е 10 е. на година. Банка Б предлага 2% без такси. При каква минимална сума в е. Банка А става по-изгодна?

6. Покупка на изплащане: Телевизор струва 1200 е. Можете да го купите веднага или на изплащане: 200 е. първоначална вноска и 12 месеца по 90 е. С колко процента се оскъпява телевизорът?

7. Пропорции и капитал: Трима съдружници инвестират капитал в отношение 2:3:5. Общата печалба (лихва) за годината е 4500 е. при 4,5% лихва. Колко е. е инвестирал всеки от тях?

8. Застъпване на периоди: Влог от 6000 е. престоява в банката 1 година и 4 месеца при 1,5% годишна лихва. Каква е крайната сума в е.?

9. Кредит и лихва: Семейство взема кредит, който трябва да върне за 1 година с 8% лихва. Общата сума, която са върнали (главница + лихва), е 16 200 е. Колко е. е бил заемът?

10. Сложен избор: Имате 8000 е. Можете да ги внесете на годишен влог при 3% или на два последователни 6-месечни влога, като след първия период добавяте лихвата към капитала. Лихвата за втория период е 2,8%. Кое е по-изгодно и с колко е. и е.ц.?