Задача 1: Решете уравнението $\sqrt{x-a} = x-1$ за всяка реална стойност на параметъра $a$.
Задача 2: Решете системата:
Задача 3: Решете уравнението $\sqrt{2x^2 + 3x + 5} + \sqrt{2x^2 + 3x + 1} = 2$.
Задача 4: Решете уравнението $\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x – 2\sqrt{x-1}} = 2$.
Задача 5: Решете уравнението $\sqrt{x^2 – 4x + 4} = |2x – 1|$.
Задача 6: Намерете стойностите на параметъра $a$, за които системата
има единствено решение.
Задача 7: Решете системата:
Задача 8: Намерете за кои стойности на параметъра $a$ уравнението $x^4 – 2(a+1)x^2 + a^2 + 2a = 0$ има четири различни реални корена.
Задача 9: Решете уравнението $\sqrt[3]{(2-x)^2} + 4\sqrt[3]{(2+x)^2} = 5\sqrt[3]{4-x^2}$.
Задача 10: Решете уравнението $x^2 – 3x – 1 = \sqrt{x+4}$.
Задача 11: Решете уравнението $\sqrt{x-1} – \sqrt{x+1} + 2 = 0$.
Задача 12: Решете уравнението $\sqrt{x^2 – 3x + 5} + \sqrt{x^2 – 3x + 8} = 3$.
Задача 13: Решете уравнението $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} = \sqrt[3]{x-8}$.
Задача 14: Решете уравнението $\sqrt{5x^2 + 10x + 1} – \sqrt{5x^2 + 10x – 7} = 2$.
Задача 15: Намерете сбора от корените на уравнението $x^2 + \sqrt{x^2 – 2x + 1} = 5$.
Задача 16: Решете уравнението $\sqrt{2x+3} – \sqrt{x+1} = 1$.
Системи уравнения
Задача 17: Решете системата:
Задача 18: Решете системата:
Задача 19: Решете системата:
Задача 20: Решете системата:
Задача 21: Решете системата:
Задача 22: Решете системата:
Уравнения с параметри и неравенства
Задача 23: Намерете стойностите на параметъра $a$, за които уравнението $|x-3| = a-2x$ има точно един корен.
Задача 24: Намерете стойностите на параметъра $a$, за които квадратното уравнение $x^2 – 2(a+1)x + 4a = 0$ има два различни положителни корена.
Задача 25: Намерете стойностите на параметъра $a$, за които уравнението $\sqrt{2x-1} = a$ има решение.
Задача 26: За кои стойности на параметъра $m$ уравнението $(m^2-1)x = m+1$ няма решение?
Задача 27: Намерете стойностите на $a$, за които всички решения на неравенството $x^2 – 4x + 3 < 0$ са решения и на неравенството $x^2 – ax + 4 < 0$.
Задача 28: Намерете броя на решенията на уравнението $x^2 – 4 = |x| + 1$.
Задача 29: Решете уравнението $x^2 – 4x + 6 = 2^x$.
Задача 30: Решете неравенството $\sqrt{x^2 – 3x – 10} < 8 – x$.
Указания:
| # | Вид Задача | Кратко Указание за Решаване |
| 1 | Ирац. с Параметър | ДМ, повдигане на квадрат, анализ на дискриминантата на квадратното уравнение спрямо параметъра. |
| 2 | Система от Ирац. | Полагане на квадратните корени с нови променливи ($u, v$). |
| 3 | Ирац. Чрез Полагане | Полагане на израза под корена (или част от него) с нова променлива. |
| 4 | Ирац. с Сложен Корен | Преобразуване подкоренните изрази до точни квадрати или използване на формулата за сложен корен. |
| 5 | Ирац. с Модул | Свеждане на ирационалния израз до модул и решаване на модулното уравнение. |
| 6 | Система с Параметър | Заместване на $y=a-x$ и анализ на дискриминантата ($D=0$ за единствено решение). |
| 7 | Симетрична Система | Полагане: $u=x+y$, $v=xy$. |
| 8 | Ур. от Висша Степен с Параметър | Биквадратно уравнение ($y=x^2$). Условия за два различни положителни корена за $y$. |
| 9 | Ирац. с Кубичен Корен | Деление на подходящ корен и полагане на отношението с нова променлива. |
| 10 | Комбинация (Квадр. и Ирац.) | Привеждане до симетрична система или стандартно повдигане на квадрат. |
| 11 | Ирац. (Два корена) | Изолиране на един корен и повдигане на квадрат; задължителна проверка на корените. |
| 12 | Ирац. Чрез Полагане | Полагане на $x^2 – 3x + 5 = y$. |
| 13 | Ирац. с Кубичен Корен | Повдигане на трета степен и опростяване. |
| 14 | Ирац. Чрез Рационализиране | Умножение със спрегнатото (разликата на корените) за премахване на корените. |
| 15 | Ирац. с Модул (скрит) | Разкриване на $\sqrt{x^2 – 2x + 1}$ като точен квадрат |
| 16 | Ирац. (Два корена) | Изолиране и повдигане на квадрат (възможно повторно). |
| 17 | Симетрична Система | Полагане $u=x+y, v=xy$. |
| 18 | Система от Ирац. | Полагане $u=\sqrt{x}, v=\sqrt{y}$. |
| 19 | Система (Кубична) | Използване на формулата за сбор на кубове и полагане $u=x+y, v=xy$. |
| 20 | Система (Рационална) | Полагане $u=1/x, v=1/y$. |
| 21 | Хомогенна Система | Разлагане на множители на хомогенното уравнение. |
| 22 | Система от 3 Уравнения | Използване на формулите на Виет за корени на кубичен полином. |
| 23 | Уравнение с Модул и Параметър | Разглеждане на случаи за модула и анализ на решенията спрямо $a$. |
| 24 | Параметър (Квадратно ур.) | Условия на Виет за корените: $D>0$, $x_1+x_2>0$ и $x_1 x_2>0$. |
| 25 | Ирац. с Параметър | Анализ на Дефиниционната Област и условията за съществуване на квадратен корен. |
| 26 | Линейно ур. с Параметър | Условие за липса на решение: коефициентът пред $x$ е $0$ и дясната страна е $\neq 0$. |
| 27 | Неравенство с Параметър | Намиране на интервала на първото неравенство и налагане на включване във второто. |
| 28 | Уравнение с Модул | Разглеждане на случаите $x\geq 0$ и $x<0$ или графично решаване. |
| 29 | Трансцендентно (Квадр. и Експ.) | Графичен анализ или оценка на функциите. |
| 30 | Ирационално Неравенство | Трите условия за решаване: ДМ; дясната страна $\geq 0$; повдигане на квадрат. |
