Интегрални задачи за НВО след седми клас - Школа по математика София-Мат

Адаптирани за ученици от 6-ти клас.

Задачи първо ниво:

Тема 1: Математика и Физика (Плътност/Обем/Маса – базови понятия)

Един метален куб е със страна 2 см. Ако масата му е 40 грама, колко е плътността на метала в g/cm³?
Имате тухла с обем 1500 cm³. Ако плътността на тухлата е 2 g/cm³, колко е масата ѝ в грамове?
Една пластмасова бутилка има маса 20 грама. Ако е пълна с вода (плътност 1 g/cm³) и обемът на водата е 500 cm³, колко е общата маса на бутилката с водата?
Златна монета има обем 2 cm³. Ако плътността на златото е 19,3 g/cm³, колко е масата на монетата?
Една дървена играчка има маса 60 грама и плътност 0,8 g/cm³. Колко е обемът на играчката?

Тема 2: Математика и Биология (Брой/Пропорции – елементарни)

В един кошер има 1000 пчели. Ако 20% от тях са пчели работнички, колко са работничките пчели?
Едно дърво е високо 10 метра. През лятото то израства с 10% от височината си. Колко метра е станало дървото?
В една овощна градина има 60 плодни дръвчета. 1/3 от тях са ябълки, а останалите са круши. Колко са крушовите дръвчета?
Един човек изяжда 3 ябълки дневно. Ако в една ябълка има средно 80 калории, колко калории приема от ябълки за един ден?
Бактериална колония удвоява броя си на всеки час. Ако в началото има 50 бактерии, колко ще има след 2 часа?

Те3: Математика и География/Екология (Мащаб/Разстояние – опростени)

На карта с мащаб 1:100 разстоянието между две къщи е 5 см. Колко метра е реалното разстояние?
Пътят от вкъщи до училище е 2 км. На карта с мащаб 1:10000, колко сантиметра ще е това разстояние?
Една нива е с дължина 50 метра и широчина 20 метра. Колко квадратни метра е площта на нивата?
Парк с площ 2000 кв. метра трябва да се залеси. Ако се засаждат по 5 дървета на 100 кв. метра, колко дървета ще са необходими?
На една карта 1 см отговаря на 5 км в действителност. Ако разстоянието между два града на картата е 10 см, колко километра е реалното разстояние?

Средно трудни задачи

Тема 1: Математика и Физика (Плътност/Обем/Маса – малко по-сложни изчисления)

Метален цилиндър с радиус на основата 3 см и височина 10 см има маса 706,5 грама. Колко е плътността на метала в g/cm³? (Използвайте $π \approx 3, 14$ ).
Имате 500 грама мед. Ако плътността на меда е 1,4 g/cm³, колко е обемът на меда в cm³?
Алуминиева сплав има плътност 2,7 g/cm³. Колко ще тежи (в килограми) предмет от тази сплав с обем 500 cm³?
В аквариум с размери на основата 30 см на 20 см е налята вода до височина 25 см. Потопен е предмет с обем 600 cm³. С колко сантиметра ще се повиши нивото на водата?
Дървена греда е дълга 2 метра, широка 10 см и висока 8 см. Ако плътността на дървото е 0,7 g/cm³, колко е масата на гредата в килограми? (Внимавайте с мерните единици!)

Тема 2: Математика и Биология (Проценти/Пропорции/Хранене)

Един спортист се нуждае от 2500 калории дневно. Ако 20% от калориите трябва да идват от протеини, а 1 грам протеини съдържа 4 калории, колко грама протеини трябва да приеме дневно?
В 200 грама ориз се съдържат 700 калории. От тях 80% са въглехидрати. Колко калории от 200 грама ориз идват от въглехидрати?
Една рецепта за салата изисква 150 грама домати, 120 грама краставици и 30 грама лук. Колко процента от общото тегло на салатата са доматите?
Бактериална колония утроява броя си на всеки 2 часа. Ако в началото има 200 бактерии, колко бактерии ще има след 6 часа?
В едно стадо има 120 овце. От тях 40% са женски. От женските овце 25% са родили агнета тази година. Колко женски овце са родили агнета?
Един човек тежи 60 кг. 70% от теглото му е вода. Колко килограма вода има в тялото му?
В 1 литър мляко има 3,5% мазнини. Колко грама мазнини има в 2 литра мляко? (1 литър мляко тежи приблизително 1030 грама).
Едно растение е високо 50 см. Ако расте с 1,5 см всяка седмица, колко ще е високо след 4 седмици?
В един кошер 3/5 от пчелите са работнички, а останалите са търтеи. Ако общият брой пчели е 1500, колко са търтеите?
Ако един заек изяжда 200 грама моркови дневно, колко килограма моркови ще изяде за 2 седмици?

Тема 3: Математика и География/Екология (Мащаб/Площ/Време – малко по-сложни)

Парцел земя е начертан на карта в мащаб 1:500. Ако на картата парцелът е правоъгълник със страни 8 см и 12 см, колко квадратни метра е реалната площ на парцела?
На географска карта с мащаб 1:500 000 разстоянието между два върха е 4 см. Колко километра е реалното разстояние?
Една гора е с площ 300 декара. Заради суша 15% от площта е засегната. Колко декара е незасегнатата площ?
Езеро има площ 50 000 кв. метра. За пречистването на всеки 500 кв. метра са необходими 100 кг филтърен материал. Колко тона филтърен материал ще са нужни за цялото езеро?
Велосипедист изминава 18 км за 2 часа. Колко време ще му отнеме да измине 45 км със същата скорост?
В един град живеят 15 000 души. Ако 2/5 от населението са деца, колко са възрастните?
Една река е дълга 250 км. На карта е изобразена с дължина 50 см. Какъв е мащабът на картата?
Поле с форма на правоъгълник има размери 150 м на 80 м. Колко декара е това поле? (1 декар = 1000 кв. метра).
Автомобил се движи със скорост 60 км/ч. Колко километра ще измине за 1 час и 30 минути?
Една екологична акция е събрала 500 кг пластмаса. Ако 3/4 от нея е била рециклирана, колко килограма пластмаса е рециклирана?

Задачи за напреднали

Тема 1: Математика и Физика (Плътност/Обем/Маса – съчетаване на формули и разсъждения)

Метален цилиндър с радиус 4 см и височина 10 см е изработен от сплав А с плътност 8 g/cm³. След това е покрит с тънък слой от метал Б с дебелина 0,5 см и плътност 11 g/cm³. Колко е общата маса на покрития цилиндър? (Използвайте $π \approx 3, 14$ ).
Куха метална топка има външен радиус 6 см и вътрешен радиус 5 см. Ако масата ѝ е 1200 грама, колко е плътността на метала? (Обем на сфера = $3 4 π r^{3}$ , използвайте $π \approx 3, 14$ ).
Предмет с маса 300 грама и плътност 1,2 g/cm³ е потопен в цилиндричен съд с радиус 10 см, пълен с вода. Колко сантиметра ще се повиши нивото на водата? (Плътност на водата 1 g/cm³).
Златна сплав е направена от 75% злато (плътност 19,3 g/cm³) и 25% мед (плътност 8,9 g/cm³). Колко е приблизителната плътност на сплавта? (Приемете, че обемите се събират).
Дървен блок с размери 20 см х 10 см х 5 см плава във вода, като 1/4 от обема му е над водата. Колко е плътността на дървото? (Плътност на водата 1 g/cm³).

Тема 2: Математика и Биология (Проценти/Пропорции/Хранене – комплексни)

Един човек трябва да приеме 2200 калории дневно. 40% от тях трябва да са от въглехидрати, 30% от протеини и 30% от мазнини. Ако 1 грам въглехидрати съдържа 4 калории, 1 грам протеини 4 калории и 1 грам мазнини 9 калории, колко грама от всеки хранителен елемент трябва да приеме дневно?
В 100 грама шоколад има 550 калории. От тях 8% са протеини, 50% са въглехидрати и 42% са мазнини. Ако един човек изяде 50 грама шоколад, колко калории от мазнини ще приеме?
Бактериална колония намалява с 10% на всеки час. Ако в началото има 10 000 бактерии, колко бактерии ще има след 3 часа?
В един екопарк живеят 1500 животни. 30% са бозайници, 45% са птици, а останалите са влечуги. От бозайниците 1/5 са хищници. Колко са хищниците сред бозайниците?
Една рецепта за сладкиш изисква 250 грама брашно, 100 грама захар и 50 грама масло. Ако искате да приготвите сладкиш с общо тегло 1,2 кг (без да променяте пропорциите), колко грама от всяка съставка ще ви трябват?

Тема 3: Математика и География/Екология (Мащаб/Площ/Време – комплексни с конверсии)

Карта на природен резерват е начертана в мащаб 1:20 000. Ако на картата резерватът е представен като правоъгълник със страни 10 см и 15 см, колко квадратни километра е реалната площ на резервата? Ако за опазването на всеки квадратен километър са необходими 5000 лева годишно, колко средства ще са нужни за целия резерват?
На географска карта разстоянието между две езера е 6 см. Реалното разстояние е 150 км. Какъв е мащабът на картата? Ако турист изминава това разстояние пеша със скорост 5 км/ч, колко дни ще му отнеме пътуването, ако ходи по 8 часа на ден?
Регион с площ 5000 декара е засегнат от замърсяване, което е унищожило 20% от растителността. Ако за възстановяване на всеки декар е необходимо да се засадят по 100 нови дръвчета, колко общо дръвчета ще са необходими? Ако 1 дръвче струва 2,50 лв., колко ще струва цялото залесяване?
Велосипедист изминава разстоянието между градове А и Б за 3 часа със средна скорост 20 км/ч. На връщане той увеличава скоростта си с 25%. За колко време ще се върне от Б до А?
Градска градина има форма на кръг с радиус 20 метра. 30% от площта е заета от цветни лехи, а останалата част е морава. Колко квадратни метра е площта на моравата? (Използвайте $π \approx 3, 14$ ).