Продължете към съдържанието

Задачи от Окръжност

Канонично уравнение на окръжност

Окръжността е множеството от всички точки в равнината, които са на едно и също разстояние $r$ (радиус) от дадена фиксирана точка $C(x_0, y_0)$ (център).

Каноничното (нормалното, стандартно) уравнение на окръжност с център $C(x_0, y_0)$ и радиус $r$ е:

$$(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 = r^2$$
  • Специален случай: Ако центърът е в началото на координатната система $O(0, 0)$, уравнението става:
    $$x^2 + y^2 = r^2$$

Общо уравнение

То се получава, когато разкрием скобите в каноничното уравнение и прехвърлим всичко от едната страна:

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

  • Характерно за него: Коефициентите пред $x^2$ и $y^2$ винаги са равни (обикновено 1). В това уравнение няма член от вида $xy$.

  • Минус: Не можем да кажем къде е центърът само с един поглед. Трябва да използваме метода на допълване до точен квадрат, за да го превърнем обратно в канонично.

Характеристика Канонично уравнение Общо уравнение
Вид $(x – h)^2 + (y – k)^2 = R^2$ $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$
Информация Център и радиус – на готово Изисква допълнителни изчисления
Употреба За чертане и геометрични задачи Често се среща в алгебрични задачи

Как се преминава от общо към канонично?

Ако имате уравнението $x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0$, трябва да групирате $x$ и $y$ частите в точни квадрати:

  1. $(x^2 – 4x \mathbf{+ 4}) + (y^2 + 6y \mathbf{+ 9}) = 12 \mathbf{+ 4 + 9}$

  2. $(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Сега вече знаете, че центърът е $(2, -3)$, а радиусът е $5$.

Пресечни точки с права

За да намерите пресечните точки между една окръжност и една права, трябва да решите система от двете уравнения.

  1. Уравнение на окръжността: $(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 = r^2$

  2. Уравнение на правата: Правата обикновено се дава в явен вид $y = mx + n$ или в общ вид $Ax + By + C = 0$.

Метод:

  • Изразявате едната променлива (например $y$) от уравнението на правата.

  • Замествате този израз в уравнението на окръжността.

  • Получавате квадратно уравнение относно другата променлива (в случая $x$).

Брой на пресечните точки: Броят на реалните решения на квадратното уравнение ($D$) определя колко пресечни точки има:

  • Ако $D > 0$: Две пресечни точки (правата е секуща).

  • Ако $D = 0$: Една пресечна точка (правата е допирателна).

  • Ако $D < 0$: Няма пресечни точки.

 

Част 1: тренировъчни задачи

  1. Стандартно уравнение: Намерете уравнението на окръжност с център $C(2, -5)$ и радиус $r = 4$.

  2. Стандартно уравнение: Намерете уравнението на окръжност с център $C(0, 0)$, която минава през точката $A(3, 4)$.

  3. Общо към канонично: Превърнете $x^2 + y^2 + 4x – 6y – 3 = 0$ в каноничен вид и определете $C$ и $r$.

  4. Общо към канонично: Определете координатите на центъра за окръжността $x^2 + y^2 – 10x + 10 = 0$. (Внимавай с $y$ члена!)

  5. Пресечни точки: Намерете къде правата $y = x + 1$ пресича окръжността $x^2 + y^2 = 25$.

  6. Пресечни точки: Намерете допирните точки (ако има такива) на правата $x = 3$ с окръжността $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 4$.

  7. Стандартно уравнение: Центърът е $C(-1, -1)$, а окръжността се допира до абсцисната ос ($Ox$). Намерете уравнението.

  8. Общо към канонично: Изследвайте уравнението $x^2 + y^2 + 2x + 2y + 10 = 0$. Представлява ли то реална окръжност?

  9. Пресечни точки: Намерете точките, в които окръжността $x^2 + y^2 – 4x – 4y = 0$ пресича координатните оси.

  10. Диаметър: Намерете уравнението на окръжност, за която отсечката с краища $A(-2, 3)$ и $B(4, 5)$ е диаметър.

Част 2: интегрирани задачи (вектори и криви от втори ред)

А: Комбинираме окръжността с елипси, параболи и векторни операции.

1, Вектори и Център: Центърът на окръжност е точка $C$, такава че $\vec{OC} = 3\vec{i} – 4\vec{j}$ (където $O$ е началото на координатната система). Ако окръжността минава през $O$, намерете уравнението ѝ.

  • Стъпка 1: Координатите на центъра $C$ са коефициентите пред единичните вектори $\vec{i}$ и $\vec{j}$. Следователно $C(3, -4)$.

  • Стъпка 2: Тъй като окръжността минава през началото $O(0,0)$, радиусът $R$ е дължината на вектора $\vec{OC}$.

    $$R = |\vec{OC}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$

  • Стъпка 3: Заместваме в каноничното уравнение:

    $$(x – 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$$

2. Допирателна и Вектор: Намерете общото уравнение на допирателната към окръжността $x^2 + y^2 = 13$ в точка $M(2, 3)$, като използвате факта, че радиусът $\vec{CM}$ е нормален вектор към правата.

  • Стъпка 1: Центърът е $C(0,0)$. Векторът $\vec{CM}$ е перпендикулярен на допирателната в точката $M$.

    $\vec{CM} = (2-0, 3-0) = (2, 3)$.

  • Стъпка 2: Този вектор служи за нормален вектор $\vec{n}(A, B)$ на правата. Уравнението на права през точка $M(x_0, y_0)$ с нормален вектор $(A, B)$ е $A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$.

    $$2(x – 2) + 3(y – 3) = 0 \Rightarrow 2x – 4 + 3y – 9 = 0$$

  • Резултат: $2x + 3y – 13 = 0$.

3. Елипса и Окръжност: Намерете уравнението на окръжност, чийто център съвпада с центъра на елипсата $\frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y+2)^2}{16} = 1$, а радиусът ѝ е равен на голямата полуос на елипсата.

  • Стъпка 1: От уравнението на елипсата виждаме центъра $C(1, -2)$.

  • Стъпка 2: Сравняваме знаменателите: $a^2 = 9$ и $b^2 = 16$. Тъй като $16 > 9$, голямата полуос е по оста $y$ и $b = \sqrt{16} = 4$.

  • Стъпка 3: Следователно $R = 4$.

  • Уравнение: $(x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$.

4. Парабола и Фокус: Намерете каноничното уравнение на окръжност с център във фокуса на параболата $y^2 = 8x$, която минава през върха на същата парабола.

  • Стъпка 1: Стандартното уравнение на парабола е $y^2 = 2px$. Тук $2p = 8 \Rightarrow p = 4$.

  • Стъпка 2: Фокусът на такава парабола е в точка $F(\frac{p}{2}, 0) = (2, 0)$. Това е нашият център $C$.

  • Стъпка 3: Тъй като минава през върха $V(0,0)$, радиусът е разстоянието $CF = 2$.

  • Уравнение: $(x – 2)^2 + y^2 = 4$.

5. Скаларно произведение: Дадени са точките $A(1, 1)$ и $B(5, 5)$. Намерете уравнението на окръжност, която е геометрично място на точките $M(x, y)$, за които скаларното произведение $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$.

  • Стъпка 1: Нека $M$ има координати $(x, y)$. Тогава $\vec{MA} = (1-x, 1-y)$ и $\vec{MB} = (5-x, 5-y)$.

  • Стъпка 2: Скаларното произведение е $0$:

    $$(1-x)(5-x) + (1-y)(5-y) = 0$$
    $$5 – 6x + x^2 + 5 – 6y + y^2 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 – 6x – 6y + 10 = 0$$

  • Анализ: Това е окръжност с диаметър $AB$ (тъй като ъгълът, под който се вижда диаметърът, винаги е $90^\circ$).

6. Хипербола и Радиус: Намерете уравнението на окръжност, чийто диаметър е разстоянието между фокусите на хиперболата $\frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1$.

  • Стъпка 1: За хиперболата $a^2 = 16, b^2 = 9$. Фокусното разстояние $c$ се намира чрез $c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow c = 5$.

  • Стъпка 2: Разстоянието между фокусите е $2c = 10$. Това е диаметърът на окръжността.

  • Стъпка 3: Следователно $R = 5$, а центърът е $(0,0)$.

  • Уравнение: $x^2 + y^2 = 25$.

7. Векторно транслиране: Окръжността $x^2 + y^2 = 4$ е транслирана (преместена) по вектор $\vec{v}(3, -2)$. Запишете общото уравнение на новата окръжност.

  • Стъпка 1: Първоначалният център е $(0,0)$, а $R=2$.

  • Стъпка 2: След транслация с вектор $(3, -2)$, новият център е $C(3, -2)$.

  • Стъпка 3: Канонично уравнение: $(x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 4$.

  • Стъпка 4: Разкриваме скобите за общо уравнение:

    $$x^2 – 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 – 4 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 – 6x + 4y + 9 = 0$$

8. Система от втора степен: Намерете пресечните точки на две окръжности: $x^2 + y^2 = 10$ и $x^2 + y^2 – 4x – 4y + 6 = 0$.

  • Стъпка 1: Изваждаме двете уравнения, за да елиминираме квадратите:

    $$(x^2 + y^2) – (x^2 + y^2 – 4x – 4y + 6) = 10 – 0$$
    $$4x + 4y – 6 = 10 \Rightarrow 4x + 4y = 16 \Rightarrow x + y = 4 \Rightarrow y = 4 – x$$

  • Стъпка 2: Заместваме $y = 4 – x$ в първото уравнение:

    $$x^2 + (4-x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 16 – 8x + x^2 = 10$$
    $$2x^2 – 8x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 – 4x + 3 = 0$$

  • Стъпка 3: Корените са $x_1 = 1, x_2 = 3$. Тогава $y_1 = 3, y_2 = 1$.

  • Точки: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

9. Ексцентрицитет: Една окръжност може да се разглежда като елипса с ексцентрицитет $e = 0$. Докажете, че ако в уравнението на елипсата $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ положим $a = b = R$, получаваме канонично уравнение на окръжност.

  • Стъпка 1: Заместваме в уравнението на елипсата: $\frac{x^2}{R^2} + \frac{y^2}{R^2} = 1$.

  • Стъпка 2: Умножаваме двете страни по $R^2$.

  • Резултат: $x^2 + y^2 = R^2$, което е дефиницията за окръжност с център $(0,0)$. Ексцентрицитетът $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$ става $\frac{0}{a} = 0$.

10. Разстояние от точка до права: Намерете уравнението на окръжност с център $C(1, 2)$, която се допира до правата $3x – 4y + 15 = 0$. (Използвайте формулата за разстояние от точка до права, за да намерите радиуса).

  • Стъпка 1: Радиусът $R$ е разстоянието от центъра до допирателната права.

  • Стъпка 2: Формула: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

    $$R = \frac{|3(1) – 4(2) + 15|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 – 8 + 15|}{5} = \frac{10}{5} = 2$$

  • Уравнение: $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 4$.

Б. Допълващи задачи:

  1. Окръжност и фокусно разстояние: Намерете уравнението на окръжност, чийто диаметър е отсечката, свързваща фокусите $F_1$ и $F_2$ на елипсата $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$.

  2. Парабола и допирателна: Дадена е параболата $y = \frac{1}{4}x^2$. Намерете уравнението на окръжност с център във фокуса на параболата, която се допира до нейната директриса.

  3. Колинеарни вектори: Центърът $C$ на окръжност лежи върху правата $y = 2x$. Ако векторите $\vec{OC}$ и $\vec{v}(1, 2)$ са успоредни (колинеарни) и $|\vec{OC}| = \sqrt{5}$, намерете уравнението на окръжността, ако тя минава през координатното начало $O(0,0)$.

  4. Ортогонални окръжности: Две окръжности се наричат ортогонални, ако радиусите им в точката на пресичане са перпендикулярни. Проверете дали окръжностите $x^2 + y^2 = 25$ и $(x-6)^2 + (y-8)^2 = 75$ са ортогонални. (Подсказка: използвайте Питагоровата теорема за разстоянието между центровете).

  5. Хипербола и асимптоти: Намерете уравнението на окръжност с център в началото на координатната система, която се допира до асимптотите на хиперболата $\frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1$.

  6. Векторно уравнение на диаметър: Дадена е окръжност $x^2 + y^2 – 4x – 6y = 0$. Намерете общото уравнение на правата, върху която лежи диаметърът, успореден на вектора $\vec{u}(3, -1)$.

  7. Обща хорда: Намерете уравнението на правата, която минава през пресечните точки на окръжностите $x^2 + y^2 = 10$ и $x^2 + y^2 – 6x – 6y + 14 = 0$. (Тази права се нарича радикална ос).

  8. Елипса и вписана окръжност: Намерете уравнението на окръжност, чийто център е $C(0, 0)$ и която минава през върховете на малката ос на елипсата $4x^2 + 9y^2 = 36$.

  9. Параметрично представяне: Една точка се движи по закон $x = 3 + 5\cos(t)$ и $y = -2 + 5\sin(t)$. Докажете, че траекторията е окръжност, и намерете нейното общо уравнение.

  10. Скаларно произведение и допирателна: Дадена е окръжността $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25$ и точка $A(4, 6)$ от нея. Намерете уравнението на допирателната в точка $A$, като използвате, че за всяка точка $M(x, y)$ от допирателната, векторът $\vec{AM}$ е перпендикулярен на вектора $\vec{CA}$ ($\vec{AM} \cdot \vec{CA} = 0$).

 

© София-Мат ЕООД

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Facebook
X (Twitter)
Copy link
URL has been copied successfully!