Диофантови уравнения

Комплект 1:

1. Две калинки имат общо 9 черни точки. Колко точки може да има първата калинка и колко втората, ако всяка има поне по една?

2. Елфът Али и елфът Боби събрали общо 13 горски бонбона, най-малко по 3. По колко бонбона може да е събрал всеки от тях?

3. Феята Балончита има сини и зелени балони, които общо са 10. Намери всички възможни комбинации за броя на сините и зелените балони.

4. Пиратът Джо има 8 златни монети, разпределени в два джоба. Колко монети може да има в левия и колко в десния джоб, ако в никой джоб няма 0 монети?

5. На двора си играят котки и кучета, като общо животните са 6. Колко котки и колко кучета може да има на двора? Колко лапички имат общо?

6. В една плодова салата има общо 12 плода – само ябълки и круши. Намери всички варианти за броя на ябълките и крушите в салатата.

7. В градината на баба има общо 15 лалета – червени и жълти. Колко червени и колко жълти може да са те, ако червените са повече?

8. Митко и Ани направили общо 20 снежни топки. По колко снежни топки може да е направил всеки от тях, ако са направили по четен брой топки?

9. Художникът има 7 молива – къси и дълги. Колко къси молива може да има той?

10. В аквариума плуват златни рибки и гупи, като общо са 14. Какви са възможните бройки за всеки вид рибка, ако гупите живеят по двойки?

11. Намери всички двойки (естествени) числа $x$ и $y$, за които $x + y = 5$.

12. Намери всички двойки (естествени) нечетни числа $x$ и $y$, за които $x + y = 8$.

13. Намери всички двойки (естествени) четни числа $a$ и $b$, за които $a + b = 11$.

14. На жицата има общо 9 врабчета и лястовички. Изброи всички варианти за броя на врабчетата и лястовичките.

15. Мама направи 5 сандвича – със шунка, кашкавал и лютеница. Как може да са разпределени бройките на трите вида сандвичи?

16. Намери всички двойки числа $x$ и $y$, за които $x + y + 1 = 5$.

Комплект 2:

1. В гаража има велосипеди (с по 2 колела) и коли (с по 4 колела). Общо колелата на всички превозни средства са 14. Колко велосипеда и колко коли има в гаража?

2. Мечето си купило колички по 2 лв. и топки по 1 лв., като похарчило точно 10 лв. Какъв брой колички и топки може да си е купило мечето?

3. Таралежът носи гъбки (всяка носи по 1 точка) и круши (всяка носи по 3 точки). Общо товарът му е 12 точки. Колко гъби и колко круши носи той?

4. Магьосникът има монети от 5 жълтици и монети от 1 жълтица, които общо правят 23 жълтици. Намери всички възможни комбинации от броя на двата вида монети.

5. Цветарят прави големи букети от по 5 рози и малки букети от по 1 роза, като е използвал точно 17 рози. Колко големи и колко малки букета е направил?

6. На една планета живеят еднооки и триоки извънземни. В една стая има общо 10 очи. Колко извънземни от всеки вид може да има в стаята?

7. Иван събира пакети със стикери (по 4 в пакет) и отделни стикери. Общо той има 18 стикера. Колко пакета и колко отделни стикера има Иван?

8. Мария купува големи шоколади по 3 лв. и малки вафли по 1 лв., като е дала точно 15 лв. Колко шоколада и колко вафли е купила?

9. Намери всички двойки естествени числа $x$ и $y$, за които $2x + y = 9$.

10. Намери всички двойки естествени числа $m$ и $n$, за които $5m + n = 22$.

11. Намери всички двойки естествени числа $x$ и $y$, за които $4x + y = 13$.

12. В работилницата правят трикраки столчета, като за сглобяването им използват и единични резервни крака. Общо наличните крака са 11. Колко столчета и колко резервни крака има?

13. Една книга струва 8 лв., а една тетрадка струва 1 лв. Ако разполагаш с точно 25 лв., колко книги и колко тетрадки можеш да си купиш?

14. Попадение в центъра на мишена носи 10 точки, а в периферията – 1 точка. Един стрелец е събрал 32 точки. Колко пъти е уцелил центъра и колко пъти периферията?

15. В една кутия има играчки паяци (с по 8 крака) и фигурки на воини (с по 1 крак). Общо краката на играчките са 17. Колко паяка и колко воини има в кутията?

16. Намери всички двойки естествени числа $x$ и $y$, за които $7x + y = 30$.

17. Билет за възрастен за цирк струва 5 лв., а за дете – 1 лв. Група хора платили точно 16 лв. Колко възрастни и колко деца има в групата?

18. Един голям дракон дава 9 люспи за магическа отвара, а малък дракон дава 1 люспа. Рицарят събрал точно 20 люспи. Колко големи и колко малки дракона е открил?

Комплект 3:

1. Пекарят прави соленки по 20 грама и сладки по 50 грама. Общо е използвал 240 грама тесто. Колко соленки и колко сладки е направил?

2. Русалката събира бисери в кутийки по 3 и в раковини по 7. Общо тя има 25 бисера. Колко кутийки и колко раковини е напълнила русалката?

3. В баскетболен мач отборът е вкарал само кошове за 2 точки и за 3 точки. Общият им резултат е 23 точки. По колко коша от двата вида са вкарали играчите?

4. Във фермата има прасета (с по 4 крака) и патици (с по 2 крака). Общо животните имат 26 крака. Колко прасета и колко патици може да има във фермата?

5. Една тетрадка струва 2 лв., а един химикал струва 3 лв. Алекс похарчил точно 19 лв. Колко тетрадки и колко химикала е купил?

6. На листа са нарисувани триъгълници (с по 3 страни) и квадрати (с по 4 страни). Общо всички страни са 17. Колко фигури от всеки вид има на листа?

7. На една везна са поставени тежести от 2 кг и от 5 кг, като общото тегло е 22 кг. Какъв брой тежести от всеки вид може да са използвани?

8. Намери всички двойки цели положителни числа $x$ и $y$, за които $3x + 4y = 24$.

9. Намери всички двойки цели положителни числа $x$ and $y$, за които $5x + 2y = 31$.

10. Намери всички двойки цели положителни числа $a$ и $b$, за които $6a + 5b = 40$.

11. В магазин се продават пакетчета от по 4 бонбона и пакетчета от по 6 бонбона. Общо са купени 32 бонбона. Намери възможния брой пакетчета от всеки вид.

12. В един хотел има стаи с 2 легла и стаи с 3 легла. Общо леглата в хотела са 25. Какви са възможните комбинации от броя на стаите, ако всички легла са заети?

13. Сините водни кончета имат по 4 крила, а зелените имат по 2 крила. Общо крилата на всички кончета са 18. Колко сини и колко зелени водни кончета има?

14. Имаме монети само от 2 лв. и от 5 лв., като общата сума е 33 лв. Колко монети от всеки вид може да имаме?

15. Намери всички двойки цели положителни числа $x$ и $y$, за които $7x + 3y = 30$.

16. На Марс растат цветя с 3 листа и цветя с 8 листа. Космонавтът преброил общо 25 листа в една леха. Колко цветя от всеки вид е видял той?

17. Малък сандък със злато тежи 3 кг, а голям сандък тежи 8 кг. Магарето носи общо точно 24 кг. Колко малки и колко големи сандъка пренася то?

18. Камионите имат по 6 гуми, а колите по 4 гуми. В един сервиз са сменили общо 36 гуми. Колко камиона и колко коли са били обслужени?

19. Намери всички двойки цели положителни числа $x$ и $y$, за които $2x + 7y = 29$.

20. Има мишени, които носят 5 точки и такива, които носят 9 точки. Иван събрал точно 43 точки. Колко мишени от всеки вид е улучил той?

Комплект 4:

1. В един магазин се продават само пакети с по 6 батерии и кутии с по 8 батерии. Купили са общо 52 батерии. Колко пакета и колко кутии са купили, ако броят на кутиите е нечетно число?

2. Намери всички двойки цели положителни числа $x$ и $y$ за уравнението $5x + 10y = 65$, ако се знае, че $x > y$.

3. На една поляна има зайци (4 крака) и щъркели (2 крака). Общо животните са 10, а броят на краката им е 28. Колко зайци и колко щъркели има на поляната?

4. Стойността на една монета е 7 стотинки, а на друга – 3 стотинки. Касиерът трябва да върне точно 50 стотинки, като използва най-големия възможен брой монети. Колко монети от 7 ст. и колко от 3 ст. ще използва той?

5. Намери всички двойки цели положителни числа $a$ и $b$ за уравнението $4a + 6b = 40$, при условие че $a$ е четно число.

6. Една голяма кутия с моливи струва 12 лв., а една малка кутия струва 5 лв. Похарчени са общо 53 лв. Колко големи и колко малки кутии са купени?

7. Пътешественик носи камъни, които тежат по 9 кг, и торбички, които тежат по 4 кг. Общото тегло, което носи, е 40 кг. Колко камъни и колко торбички носи, ако общият брой предмети е 6?

8. Намери всички двойки цели положителни числа $x$ и $y$ за уравнението $20x + 15y = 100$, като се знае, че $x$ и $y$ не са равни на нула.

9. В една сладкарница се продават торти, които се режат на 6 парчета, и пасти, които са по 1 парче. Общо са продадени 31 парчета. Колко торти и колко пасти са продадени, ако броят на тортите е по-малък от 3?

10. Намери всички двойки цели положителни числа $m$ и $n$ за уравнението $m + 2n = 15$, където $m$ и $n$ са прости числа.

11. Един супергерой събира зелени кристали (по 8 енергийни единици) и сини кристали (по 3 енергийни единици). За да зареди костюма си, му трябват точно 43 енергийни единици. Намери всички възможни комбинации от броя на зелените и сините кристали, които може да използва.

12. Един ученик има монети от 50 стотинки и от 20 стотинки. Общата им стойност е 2 лв. и 90 ст. Колко монети от всеки вид има, ако общият брой монети е по-голям от 6?

13. Намери всички двойки цели положителни числа $x$ и $y$ за уравнението $11x + 7y = 48$.

14. В една кошница има само круши (с тегло 100 г) и ябълки (с тегло 150 г). Общото тегло на плодовете е 1400 г. Колко круши и колко ябълки има, ако броят на плодовете от всеки вид е различен?

15. Намери всички двойки цели положителни числа $a$ и $b$ за уравнението $3a + 5b = 30$, като $b$ е най-голямото възможно цяло положително число.

16. Героят печели 4 точки за победа и губи 2 точки за загуба. След 15 игри той има общо 48 точки. Колко победи и колко загуби има той? (Уравнението тук е система: $x+y=15$ и $4x – 2y = 48$).

17. В една кутия има топчета от 9 грама и топчета от 4 грама. Общото тегло на всички топчета е 44 грама. Колко топчета от всеки вид има, ако броят на топчетата от 4 грама е четно число?

18. Намери всички двойки цели положителни числа $x$ и $y$ за уравнението $4x + 9y = 50$, при условие че $y$ е по-малко от 5.

19. В един склад има щайги от по 5 кг и щайги от по 7 кг. Общото тегло на всички щайги е 64 кг. Колко щайги от 5 кг и колко щайги от 7 кг има в склада?

20. Намери всички двойки цели положителни числа $x$ и $y$ за уравнението $13x + 2y = 41$, като $x$ е едноцифрено число.

Комплект 5:

1. Трима братя – Алекс, Боби и Калоян, имат общо 18 топчета. Алекс има $x$ топчета, Боби има $y$ топчета, а Калоян има $z$ топчета. Намери всички комбинации за $x, y, z$ при условие, че всеки брат има поне 2 топчета и Калоян има повече от Алекс ($z > x$).

2. Купили сте пасти по 2 лв., еклери по 3 лв. и бонбони по 1 лв. Общо сте похарчили 15 лв. Колко пасти, еклери и бонбона сте купили, ако общият брой на артикулите е 10?

3. Намери всички тройки естествени числа $(x, y, z)$, които са решения на уравнението $x + 2y + 3z = 10$.

4. В една секция на зоопарка има маймуни (5 кг храна на ден), тигри (8 кг храна на ден) и мечки (10 кг храна на ден). Общо за тях се дават 40 кг храна на ден. Колко животни от всеки вид има, ако броят на тигрите е четен?

5. Намери всички тройки естествени числа $(a, b, c)$, които са решения на уравнението $2a + 2b + c = 18$, при условие че $a, b, c$ са различни числа.

6. Баба Мария купила ябълки по 1 лв., портокали по 2 лв. и кивита по 4 лв. Общата сметка е 17 лв. Колко плода от всеки вид е купила, ако портокалите са точно 3?

7. Намери всички тройки цели положителни числа $(x, y, z)$ за уравнението $4x + y + z = 13$, при условие че $x$ е най-голямото число в тройката.

8. На един паркинг има велосипеди (2 колела), триколки (3 колела) и коли (4 колела). Общо са 17 колела. Колко превозни средства от всеки вид има, ако броят на триколките е не повече от 2?

9. Намери всички тройки цели положителни числа $(m, n, p)$ за уравнението $2m + 3n + p = 11$, като $m < n$.

10. Ученик има книги с твърди корици (3 см дебелина), книги с меки корици (2 см дебелина) и списания (1 см дебелина). Общата им дебелина е 14 см. Намери всички комбинации от бройки, ако има точно 2 списания.

11. Намери всички тройки цели положителни числа $(x, y, z)$ за уравнението $10x + 5y + z = 41$, при условие че $x$ е кратно на 3.

12. Билет за дете е 5 лв., за ученик е 7 лв., а за възрастен е 10 лв. Общо са продадени билети за 32 лв. Колко билета от всеки вид са продадени?

13. Намери всички тройки цели положителни числа $(a, b, c)$ за уравнението $3a + 3b + 3c = 36$, при условие че $a, b, c$ са последователни естествени числа.

14. Има червени кристали (6 точки), сини кристали (4 точки) и жълти кристали (1 точка). Магьосникът събрал общо 25 точки. Колко кристала от всеки цвят има, ако броят на жълтите кристали е четно число, по-голямо от 5?

15. Намери всички тройки цели положителни числа $(x, y, z)$ за уравнението $2x + y + 5z = 17$, при условие че $z$ е най-малкото възможно естествено число.

16. Пиратски кораб има торби със злато (5 кг), сребро (3 кг) и бронз (1 кг). Общата тежест е 15 кг. Колко торби от всеки метал има, ако броят на торбите със сребро е равен на броя на торбите със злато?

17. Намери всички тройки цели положителни числа $(m, n, p)$ за уравнението $5m + n + p = 20$, при условие че $n$ и $p$ са равни.

18. Едно число $N$ при деление на $x$ дава остатък 1, при деление на $y$ дава остатък 2, а при деление на $z$ дава остатък 3. Ако $x + y + z = 12$ и $x, y, z$ са различни естествени числа, намери $x, y, z$ (това е логическа задача, която може да има диофантово приложение). Нека задачата бъде: Намери всички тройки цели положителни числа $(x, y, z)$ за $x + y + z = 12$, при условие че $x, y, z$ са четни числа.

19. В една кутия има камиончета по 8 лв., кукли по 5 лв. и топки по 2 лв. Общо са купени играчки за 26 лв. Колко играчки от всеки вид са купени, ако общият брой на куклите и топките е 4?

20. Намери всички тройки цели положителни числа $(x, y, z)$ за уравнението $x + 4y + 4z = 21$, при условие че $y < z$.

© София-Мат ЕООД