Десетична и двоична бройна система - Школа по математика София-Мат

Десетичната бройна система е най-широко използваната система за броене и представяне на числа в света. Тя е позиционна бройна система с основа 10.

Основни характеристики

Цифри: Използват се десет символа (арабски цифри): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
Основа: Числото 10 е основата, което означава, че всяка позиция в дадено число съответства на степен на 10.
Позиционна стойност: Стойността на всяка цифра зависи от нейното място (позиция) в числото. Преместването на една цифра наляво я прави 10 пъти по-голяма, а надясно – 10 пъти по-малка.

Структура на числата

Всяко число в десетичната система може да бъде представено като сума от произведенията на неговите цифри и съответните степени на числото 10.

Например, числото 4523 се разлага по следния начин:

4523 = (4 \times 10^3) + (5 \times 10^2) + (2 \times 10^1) + (3 \times 10^0)

4523 = 4000 + 500 + 20 + 3

При дробните числа се използват отрицателни степени на 10 след десетичната запетая:

$10^{-1} = 0.1$ (десети)
$10^{-2} = 0.01$ (стотни)

Така числото 56,78 се разлага по следния начин:

Чрез степени на 10:

56,78 = (5 \times 10^1) + (6 \times 10^0) + (7 \times 10^{-1}) + (8 \times 10^{-2})

Чрез умножение (разширен вид):

56,78 = (5 \times 10) + (6 \times 1) + (7 \times 0,1) + (8 \times 0,01)

Като сума от стойности:

56,78 = 50 + 6 + 0,7 + 0,08

Защо използваме точно основа 10?

Смята се, че десетичната система е станала доминираща в човешката цивилизация поради чисто физиологична причина: хората имат 10 пръста на ръцете си. Това е направило броенето до десет естествено и лесно за ранните хора.

Предимства

Универсалност: Използва се в математиката, науката, финансите и ежедневието по целия свят.
Лесни изчисления: Умножението и делението на 10, 100 или 1000 се извършва просто чрез преместване на десетичната запетая.
Логическа последователност: Системата позволява безкрайно представяне както на много големи, така и на много малки стойности.

Двоична бройна система

Двоичната бройна система е позиционна бройна система с основа 2. Тя е фундаменталният език на съвременните компютри и цифрова електроника. Всичко, което виждаме на екраните си – от текст до сложни 3D графики – в основата си е поредица от две състояния, представени с цифрите 0 и 1.

Защо се използва в технологиите?

Компютрите се състоят от милиарди микроскопични ключове (транзистори). Най-надеждният начин за тяхната работа е да разпознават само две нива на напрежение:

Логическа единица (1): Има електрически сигнал.
Логическа нула (0): Няма електрически сигнал.

Използването на десетична система в хардуера би изисквало много по-сложни компоненти, които да различават 10 нива на напрежение, което би увеличило драстично риска от грешки.

Структура и позиционни стойности

Подобно на десетичната система, всяка позиция в едно двоично число има свое „тегло“, което е степен на двойката.

Цели числа: Теглата започват отдясно наляво със стойности: $2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8$ и т.н.
Дробни числа: След десетичната запетая теглата продължават със стойности: $2^{-1}=0,5, 2^{-2}=0,25, 2^{-3}=0,125$ и т.н.

Превръщане между системите

1. От десетична в двоична система

За цялата част: Делим числото на 2 и записваме остатъците (0 или 1) отдолу нагоре.
За дробната част: Умножаваме дробта по 2. Целите части на резултата (0 или 1) се записват последователно отгоре надолу.

Пример (Числото 13,25):

13: $13/2=6 (ост. 1); 6/2=3 (ост. 0); 3/2=1 (ост. 1); 1/2=0 (ост. 1) \rightarrow \mathbf{1101}$
0,25: $0,25 \times 2 = \mathbf{0},5; 0,5 \times 2 = \mathbf{1},0 \rightarrow \mathbf{01}$Резултат: $13,25_{10} = 1101,01_2$

2. От двоична в десетична система

Сумираме стойностите на позициите, където има единица.

Пример (Числото 101,1):

$(1 \times 2^2) + (0 \times 2^1) + (1 \times 2^0) + (1 \times 2^{-1}) = 4 + 0 + 1 + 0,5 = \mathbf{5,5_{10}}$

Задачи за упражнение

Първа част: десетични към двоични числа

№	Число (Десетично)	№	Число (Десетично)
1	7	2	18
3	42	4	55
5	120	6	0,5
7	1,25	8	4,75
9	9,125	10	12,5
11	22,25	12	40,75
13	60,0625	14	99,5
15	150,25

Втора част: двоични към десетични числа

№	Число (Двоично)	№	Число (Двоично)
16	111	17	1010
18	11001	19	10111
20	111000	21	0,1
22	1,01	23	11,11
24	101,001	25	110,101
26	1000,01	27	1111,11
28	10101,1	29	11011,01
30	100000,11