Делимост

Принципи на делимостта (Сбор, Разлика, Произведение)

• Делимост на произведение: Ако поне един от множителите се дели на $k$, то и цялото произведение се дели на $k$.

  Пример: Числото $13 \times 24$ със сигурност се дели на 3, защото 24 се дели на 3.

• Делимост на сбор:

  • Ако всяко събираемо се дели на $k$, то и сборът се дели на $k$.

  • Важно: Ако сборът се дели на $k$ и едното събираемо се дели на $k$, то и другото задължително се дели на $k$. (

• Делимост на разлика: Ако умаляемото и умалителят се делят на $k$, разликата също се дели на $k$.

Често пъти няма нужда да пресмяташ цялата задача, а само да погледнеш „опашката“ на числото:

• Четност: Сбор на две нечетни числа винаги е четно число. Ако видиш уравнение $Нечетно + Нечетно = 21$, веднага знаеш, че няма решение.

Магията на последната цифра (Цикличност)

Числата имат навици. Когато ги умножаваш сами по себе си, последната им цифра се повтаря в определен ритъм:

• „Непоклатимите“ (0, 1, 5, 6): Тези числа, повдигнати на каквато и да е степен (умножени сами по себе си колкото и да е пъти), винаги завършват на същата цифра.

  • $5 \times 5 \times 5 \dots$ винаги завършва на 5.

  • $6 \times 6 \times 6 \dots$ винаги завършва на 6.

• Правилото за 9:

  • $9 \times 9 = 81$ (завършва на 1)

  • $81 \times 9 = 729$ (завършва на 9)

  • Извод: Ако умножаваш 9 четен брой пъти, завършва на 1. Ако е нечетен – на 9.

• Правилото за 4:

  • Ако умножаваш 4 четен брой пъти – завършва на 6. Ако е нечетен – на 4.

• Умножение с 5 и нечетно число: Резултатът винаги завършва на 5.

$5 \times 7 = 35$, $5 \times 9 = 45$, $5 \times 13 = 65$…

• Ако умножаваш числа, завършващи на 5, по четно число, резултатът винаги завършва на 0.

Златни правила за математически ребуси

Когато букви заместват цифри (например $АБ + ВГ = ДЕЖ$), използвай тези „закони“:

• Законът за „Преноса“ :

  • При събиране на две двуцифрени числа, сборът може да е най-много трицифрено число, започващо с 1.

  • Пример: $АБ + ВГ = ДЕЖ$. Тук Д задължително е 1, защото дори $99 + 99 = 198$.

• Законът за „Нулата“ в произведение:

  • Ако $А \times Б = А$ и $А$ не е нула, то Б задължително е 1.

  • Ако $А \times Б = 0$, то поне едно от двете е 0.

• Огледални цифри: Ако в ребус видиш $А \times А$ да завършва на $А$, то $А$ може да бъде само 1, 5 или 6 (защото $1 \times 1=1, 5 \times 5=25, 6 \times 6=36$).

• Четност при събиране: Ако $А + А = \dots Б$, то Б задължително е четно число (защото сборът на две еднакви числа винаги е четен).

• Четност при умножение: Ако $А \times Б$ е нечетно число, то и $А$, и $Б$ задължително са нечетни. Ако поне едно е четно, резултатът е четен.

Трябва да знаеш правилата и за делимост на основните числа (2,3,4,5,6,9,10…)

Делимост на 4 и 8

Това е изключително полезно за големи числа:

• На 4: Гледаш само последните две цифри. Ако те се делят на 4, цялото огромно число се дели на 4.

  • Пример: $123\,4**16**$ се дели на 4, защото 16 се дели на 4.

• На 8: Гледаш последните три цифри.

Принципът на Дирихле (Често приложим при делимост)

„Ако имаш 4 заека и 3 клетки, в поне една клетка има поне два заека.“

В задачите за делимост това звучи така:

Ако имаш 4 числа, поне две от тях ще дават еднакъв остатък при деление на 3.

Остатък

Ако в задача ти кажат: „Числото $X$ дава остатък 3 при деление на 7″, ти веднага можеш да запишеш числото като:

(Където $k$ е някакво цяло число – 1, 2, 3…)

Това уравнение е „ключът“ за решаване на сложни задачи. То ти казва, че ако извадиш 3 от числото $X$, резултатът задължително ще се дели на 7.

Примерна задача: кутии с бонбони

Условие: Иван купил два вида кутии с бонбони – малки по 7 бонбона и големи по 12 бонбона. Общо той има 100 бонбона. Колко кутии от всеки вид е купил Иван?

Решение:

1. Уравнение: $7x + 12y = 100$.

2. Анализ: Числото $100$ се дели на 4. Числото $12y$ също се дели на 4. Следователно $7x$ задължително трябва да се дели на 4. Тъй като 7 не се дели на 4, то $x$ (броят малки кутии) трябва да е число, което се дели на 4 (например 4, 8, 12…).

3. Пробваме:

   • Ако $x=4 \rightarrow 28 + 12y = 100 \rightarrow 12y = 72 \rightarrow \mathbf{y=6}$.

   • Ако $x=8 \rightarrow 56 + 12y = 100 \rightarrow 12y = 44$ (не се дели).

   • Ако $x=12 \rightarrow 84 + 12y = 100 \rightarrow 12y = 16$ (не се дели).

   • Ако $x=16 \rightarrow 112$ (вече е повече от 100).

     Отговор: 4 малки кутии и 6 големи кутии.

Примерна задача: Ребус: $АБ + АБ + АБ = ВАБ$

(Тук всяка буква е различна цифра, а $АБ$ е двуцифрено число)

Стъпка 1: Превръщане в умножение

Вместо да събираме, записваме логиката така:

Това означава, че трицифреното число $ВАБ$ се дели на 3.

Стъпка 2: Правилото за последната цифра

Поглеждаме края на уравнението: $3 \times Б$ трябва да завършва на цифрата Б.

Да проверим коя цифра има това свойство:

• $3 \times 1 = 3$ (не)

• $3 \times 2 = 6$ (не)

• $3 \times 3 = 9$ (не)

• $3 \times 4 = 12$ (завършва на 2, не)

• $3 \times \mathbf{5} = 1\mathbf{5}$ (ДА! Завършва на 5)

• $3 \times 0 = 0$ (ДА! Завършва на 0)

Имаме два варианта за Б: 0 или 5.

Стъпка 3: Анализ на „Преноса“ и Делимостта

Нека тестваме Б = 0:

Уравнението става $3 \times А0 = ВА0$.

Ако го разделим на 10 (махнем нулите отзад), получаваме:

Това е двуцифрено число, което е кратно на 3 и завършва на $А$. Кое число, умножено по 3, дава резултат със същата последна цифра? Отново само 5 (защото $3 \times 5 = 15$).

• Ако А = 5, то $3 \times 5 = 15$. Тогава В = 1.

Проверка: $50 + 50 + 50 = 150$.

Всичко съвпада! $А=5, Б=0, В=1$.

I. Основни задачи – Основи на делимостта

Тези задачи тренират разпознаването на признаците за делимост (2, 3, 5, 9, 10) и разбирането за кратно и делител.

1. Кое е най-малкото трицифрено число, което се дели на 3 и на 5 едновременно?

2. В числото $45*7$ постави цифра на мястото на звездичката, така че числото да се дели на 9.

3. Колко са четните числа между 10 и 30, които се делят на 3?

4. Ребус: $А + А + А = БА$. На коя цифра отговаря буквата А? (Подсказка: Сборът се дели на 3).

5. Петър има бонбони, които може да раздели поравно между 2, 3 или 5 деца. Кой е най-малкият възможен брой бонбони? (НОК)

6. Кое е най-голямото двуцифрено число, което е кратно на 4 и на 6?

7. Имаме 12 ябълки и 18 круши. На колко най-много деца можем да ги раздадем, така че всяко да получи по равен брой от всеки вид? (НОД)

8. Докажете, че числото $123\,456$ се дели на 3.

9. Кое е следващото число в редицата: 6, 12, 18, 24, …? На кои числа се делят всички те?

10. Колко пъти цифрата 0 участва в края на произведението $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10$?

11. Може ли число със сбор на цифрите 14 да се дели на 9?

12. Напишете всички делители на числото 24.

13. Кое число е едновременно делител на 15 и на 25?

14. Ако едно число се дели на 10, на кои други числа задължително се дели то?

15. Намерете сумата на всички едноцифрени числа, които са прости (делят се само на 1 и на себе си).

16. Колко е остатъкът при делението на 555 на 2?

17. Една лампа мига на всеки 4 секунди, а друга – на всеки 6 секунди. Ако светнат заедно сега, след колко секунди ще светнат отново заедно?

18. Намерете най-малкото число, което при деление на 2, 3 и 4 дава остатък 0.

19. Може ли сборът на три последователни числа да не се дели на 3?

20. Кое е най-малкото число, което има точно 3 делителя? (Подсказка: Квадрат на просто число).

II. По-трудни задачи

21. Намерете най-малкото число, което при деление на 5 дава остатък 1, а при деление на 2 дава остатък 0.

22. Числото $7А3Б$ се дели на 10 и на 9. Намерете А и Б.

23. Колко са трицифрените числа, които се делят на 25?

24. Ребус: $АБ \times 6 = БББ$. Намерете цифрите А и Б.

25. В един клас има по-малко от 30 ученици. Ако се подредят по двама, остава 1 сам. Ако се подредят по трима, пак остава 1. Колко са учениците?

26. Намерете НОК на 8, 12 и 18.

27. Площад се покрива с плочки с размери 20 см на 30 см. Каква е страната на най-малкия възможен квадрат, който може да се запълни с такива плочки?

28. Кое е най-голямото трицифрено число, което се дели на 4, но не се дели на 8?

29. Ако $n$ е четно число, на колко се дели винаги изразът $n \times (n+1) \times (n+2)$?

30. Намерете най-малкото четирицифрено число, което се дели на 15.

31. Числото $X$ има делители 2, 3, 4, 5 и 6. Кое е най-малкото такова $X$?

32. Колко е сборът на всички двуцифрени числа, които са кратни на 11?

33. Магически квадрат: В таблица $3\times3$ сумата по редове и колони е 18. Ако всички числа са различни и се делят на 3, кои са те?

34. Имаме 40 сини и 64 червени молива. Трябва да направим еднакви комплекти. Колко най-много комплекта можем да направим?

35. Един влак свири на всеки 15 минути, а друг – на всеки 20. В 12:00 са свирили заедно. Кога за трети път (след 12:00) ще свирят едновременно?

36. Намерете три последователни числа, чието произведение е 120.

37. Възможно ли е числото $1+2+3+…+10$ да се дели на 10?

38. Числото $246$ е записано три пъти едно след друго: $246246246$. Дели ли се полученото число на 9?

39. Ако $x$ се дели на 6, а $y$ се дели на 4, на колко задължително се дели $x \times y$?

40. Кое е най-малкото число с 6 различни делителя?

III. Предизвикателни задачи

41. Сборът на 20 числа е 210. Всеки две съседни имат сума 21. Кои са числата?

42. Намерете всички трицифрени числа от вида $7XY$, които се делят на 36.

43. Ребус: $АБЦ + АБ + А = 432$. Намерете А, Б и Ц.

44. Колко е остатъкът на числото $123 \times 456 \times 789$ при деление на 5? (Използвайте само последните цифри).

45. Може ли да се запишат числата от 1 до 10 в кръг така, че сборът на всеки две съседни да е просто число?

46. Намерете най-малкото число, което при деление на 2 дава остатък 1, на 3 дава 2, на 4 дава 3, а на 5 дава 4. (Подсказка: Числото $+1$ се дели на всички).

47. Докажете, че няма трицифрено число, което да е равно на произведението на цифрите си.

48. В една стая има столове с 3 и с 4 крака. Общият брой крака е 41. Колко стола има от всеки вид, ако столовете с 4 крака са повече?

49. Коя е последната цифра на $5 \times 5 \times 5 \times …$ (20 пъти) $+ 6 \times 6 \times 6 …$ (20 пъти)?

50. Намерете най-малкото число, което се дели на 7, а при деление на 2, 3, 4, 5 и 6 дава остатък 1.

51. Може ли шахматна дъска $8\times8$ с една изрязана клетка (ъглова) да се покрие с домино плочки ($1\times2$)? (Подсказка: Делимост на 2 и четност на цветовете).

52. Сборът на две числа е 100. Едното се дели на 7, а другото на 11. Кои са числата?

53. Колко са нулите в края на произведението на числата от 1 до 25?

54. Намерете четирицифрено число, което е 9 пъти по-голямо от сбора на цифрите си (ако съществува) или докажете защо е трудно.

55. Ребус: $SEND + MORE = MONEY$. (Класически ребус – проверете делимостта на М).

56. Разполагате с теглилка и два съда – от 5 литра и 3 литра. Как да отмерите точно 4 литра, използвайки знания за числата (уравнение $5x – 3y = 4$)?

57. Кое е най-малкото число, което се състои само от цифрите 0 и 1 и се дели на 18?

58. Имаме правоъгълник със страни 48 см и 60 см. Искаме да го нарежем на възможно най-големите еднакви квадрати без остатък. Колко квадрата ще получим?

59. Намерете число, което е равно на сумата от кубовете на цифрите си.

60. В таблица $5\times5$ са записани числа. Сборът на всеки три клетки, образуващи буквата „L“, е число, което се дели на 4. Докажете, че всички числа в таблицата трябва да имат еднаква четност (или проучете разположението им).