Схемата на Хорнер (или Руфини) ни позволява бързо да разделим полином $M(x)$ на $(x-a)$ и да намерим коефициентите на получения полином-частно, $Q(x)$. Ако остатъкът е 0, то $a$ е корен.
Потенциални рационални корени: Според теоремата за рационалните корени, всички възможни рационални корени са делители на свободния член.
Нека използваме за пример $P(x) = x^2 – 5x + 6$ и деление на $(x-2)$:
1. Подготовка на таблицата
Записваме коефициентите на полинома $P(x) = 1x^2 – 5x + 6$ в горния ред и корена $a=2$ вляво.
| x2 | x1 | x0 | |
| 1 | -5 | 6 | |
| $a=2$ | |||
| Резултат: |
2. Стъпка по стъпка
| x2 | x1 | x0 | |
| 1 | -5 | 6 | |
| $a=2$ | $\downarrow$ | $2 \cdot 1 + (-5)$ | $2 \cdot (-3) + 6$ |
| Резултат: | 1 | -3 | 0 |
| (Коеф. на $x^1$) | (Коеф. на $x^0$) | (Остатък) |
Обяснение на стъпките:
-
Сваляне: Коефициентът на най-високата степен (1) се сваля директно под чертата.
- Първа колона ($x^1$): Умножаваме последния резултат (1) по корена (2) и добавяме коефициента над него (-5):
$$1 \cdot 2 + (-5) = \mathbf{-3}$$
- Втора колона ($x^0$): Умножаваме последния резултат (-3) по корена (2) и добавяме коефициента над него (6):
$$-3 \cdot 2 + 6 = \mathbf{0}$$
3. Интерпретация на резултата
-
Остатъкът е последното число в долния ред: 0. Това означава, че делението е без остатък и $(x-2)$ е множител.
-
Частното $Q(x)$ се формира от останалите числа в долния ред: 1 и -3. Тъй като изходният полином беше от $2^{\text{ра}}$ степен, частното е от $1^{\text{ва}}$ степен.
Заключение:
Нека разгледаме по-сложен пример $M(x) = x^4 – 8x^3 + 14x^2 + 8x – 15$,
като използваме последователно схемата на Хорнер, представена в табличен вид.
Ще делим полинома от $4^{\text{та}}$ степен на четири последователни корена: $x=1$, $x=-1$, $x=3$ и $x=5$.
Полином: $M(x) = 1x^4 – 8x^3 + 14x^2 + 8x – 15$
1. деление на $(x-1)$ (корен $a_1=1$)
-
Коефициенти на $M(x)$: 1, -8, 14, 8, -15
| x4 | x3 | x2 | x1 | x0 | |
| 1 | -8 | 14 | 8 | -15 | |
| $a_1=1$ | $\downarrow$ | $1 \cdot 1 + (-8)$ | $1 \cdot (-7) + 14$ | $1 \cdot 7 + 8$ | $1 \cdot 15 + (-15)$ |
| $Q_1(x)$: | 1 | -7 | 7 | 15 | 0 |
-
Остатък: 0.
-
Частно $Q_1(x)$: $x^3 – 7x^2 + 7x + 15$.
-
Разлагане: $M(x) = (x-1)(x^3 – 7x^2 + 7x + 15)$.
2. деление на $q_1(x)$ на $(x+1)$ (корен $a_2=-1$)
-
Коефициенти на $Q_1(x)$: 1, -7, 7, 15
| x3 | x2 | x1 | x0 | |
| 1 | -7 | 7 | 15 | |
| $a_2=-1$ | $\downarrow$ | $(-1) \cdot 1 + (-7)$ | $(-1) \cdot (-8) + 7$ | $(-1) \cdot 15 + 15$ |
| $Q_2(x)$: | 1 | -8 | 15 | 0 |
-
Остатък: 0.
-
Частно $Q_2(x)$: $x^2 – 8x + 15$.
-
Разлагане: $M(x) = (x-1)(x+1)(x^2 – 8x + 15)$.
3. деление на $q_2(x)$ на $(x-3)$ (корен $a_3=3$)
-
Коефициенти на $Q_2(x)$: 1, -8, 15
| x2 | x1 | x0 | |
| 1 | -8 | 15 | |
| $a_3=3$ | $\downarrow$ | $3 \cdot 1 + (-8)$ | $3 \cdot (-5) + 15$ |
| $Q_3(x)$: | 1 | -5 | 0 |
-
Остатък: 0.
-
Частно $Q_3(x)$: $x – 5$.
-
Разлагане: $M(x) = (x-1)(x+1)(x-3)(x-5)$
След три последователни деления, достигнахме до линейния множител $(x-5)$, което е крайното разлагане:
Този табличен метод систематизира процеса на намиране на корените и разлагането на полинома, като с всяка стъпка намалява степента на полинома, с който работим.
