Действия със сходящи редици - Школа по математика София-Мат

1. Фундаментални дефиниции и теореми

Дефиниция за граница ( $\epsilon$ – $\nu$ дефиниция): Числото $a$ е граница на редицата $a_n$ , ако за всяко $\epsilon > 0$ съществува такова число $\nu$ , че при $n > \nu$ е изпълнено $|a_n - a| < \epsilon$ .
Връзка между сходимост и ограниченост: Всяка сходяща редица е ограничена. Ако една редица е неограничена (като в Задача 2а, в, д), тя е разходяща.
Теорема на Вайерщрас: Всяка монотонна и ограничена редица е сходяща.
Теорема за „двамата полицаи“ (Squeeze Theorem): Ако $x_n \leq a_n \leq y_n$ и $\lim x_n = \lim y_n = a$ , тогава и $\lim a_n = a$ .
Еквивалентност: $\lim a_n = a \iff \lim (a_n - a) = 0$ .

2. Основни алгебрични свойства

Ако имаме две сходящи редици $\lim a_n = A$ и $\lim b_n = B$ , тогава:

Сума и разлика: $\lim (a_n \pm b_n) = A \pm B$ .
Произведение: $\lim (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$ .
Частно: $\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$ (при $b_n \neq 0$ и $B \neq 0$ ).
Модул: $\lim |a_n| = |A|$ .

3. Умножение с коефициент и степенуване

Умножение с константа ( $c$ ): $\lim (c \cdot a_n) = c \cdot \lim a_n$ . Можете да изнасяте числата пред символа за граница.
Степенуване: $\lim (a_n)^k = (\lim a_n)^k$ .

4. Свойства при коренуване

Вкарване под корен: Ако $a_n \geq 0$ , то за всяко естествено число $k$ е в сила: $\lim \sqrt[k]{a_n} = \sqrt[k]{\lim a_n}$ .
Важни основни граници:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[k]{n}} = 0$ .

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$ за всяко $k > 0$ .

$\lim_{n \to \infty} q^n = 0$ ако $|q| < 1$ .

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ .

5. Практически техники и „специални“ граници

Рационализиране: При разлика от корени ( $\infty - \infty$ ) (например $\sqrt{n^2+n+1} - \sqrt{n^2-n+1}$ ), умножете и разделете със спрегнатия израз ( $a+b$ ), за да използвате $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ .
Полиноми: При дроби с полиноми, винаги разделяйте числителя и знаменателя на най-високата степен на $n$ от знаменателя.
Суми: Сума на аритметична прогресия $1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Задачи:

I. Доказателства чрез дефиницията за граница

Задача 1: Като използвате дефиницията за граница, докажете, че:

а) $\frac{5}{7n+1} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$

Решение: имаме $a_n = \frac{5}{7n+1}$ и предполагаема граница $a = 0$ . Трябва да докажем, че:

|a_n - a| < \epsilon \implies \left| \frac{5}{7n+1} - 0 \right| < \epsilon

Тъй като $n$ е естествено число ( $n \geq 1$ ), изразът $7n+1$ е винаги положителен, затова можем да премахнем модула:

\frac{5}{7n+1} < \epsilon

Сега изолираме $n$ :

Умножаваме по $(7n+1)$ и разделяме на $\epsilon$ :

$\frac{5}{\epsilon} < 7n+1$
Изваждаме 1 от двете страни:

$\frac{5}{\epsilon} - 1 < 7n$
Разделяме на 7:

$n > \frac{1}{7} \left( \frac{5}{\epsilon} - 1 \right)$

За всяко произволно избрано $\epsilon > 0$ , можем да изберем числото $\nu$ да бъде по-голямо от получената стойност.

б) $\frac{3}{n^2} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$
в) $\frac{1}{\sqrt{n+9}} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$
г) $\frac{3n+1}{n+1} \xrightarrow[n \to \infty]{} 3$
д) $\frac{n^2}{n^2+2} \xrightarrow[n \to \infty]{} 1$
е) $\frac{1}{\sqrt{n^2+4}} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$

Теоретични доказателства:

Задача 2: Докажете, че никое реално число не е граница на редицата $2, -2, 2, -2, \dots$
Задача 3: Докажете, че $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ точно тогава, когато $\lim_{n \to \infty} (a_n - a) = 0$

Решение: 1. Права посока ( $\implies$ )

Дадено: $\lim_{n \to \infty} a_n = a$

Трябва да докажем: $\lim_{n \to \infty} (a_n - a) = 0$

От дефиницията за граница знаем, че за всяко $\epsilon > 0$ съществува число $\nu$ , такова че при $n > \nu$ е изпълнено неравенството $|a_n - a| < \epsilon$ .
Нека разгледаме новата редица $b_n = a_n - a$ . Търсим нейната граница спрямо числото $0$ .
Записваме дефиницията за $b_n$ : $|b_n - 0| < \epsilon$ .
Заместваме $b_n$ : $|(a_n - a) - 0| < \epsilon$ , което е точно $|a_n - a| < \epsilon$ .
Тъй като това неравенство е изпълнено по условие за същото $\nu$ , следва че $\lim_{n \to \infty} (a_n - a) = 0$ .

2. Обратна посока ( $\impliedby$ )

Дадено: $\lim_{n \to \infty} (a_n - a) = 0$

Трябва да докажем: $\lim_{n \to \infty} a_n = a$

По дефиниция, $\lim_{n \to \infty} (a_n - a) = 0$ означава, че за всяко $\epsilon > 0$ съществува число $\nu$ , такова че при $n > \nu$ е в сила $|(a_n - a) - 0| < \epsilon$ .
Опростяваме израза в модула: $|a_n - a| < \epsilon$ .
Това е точно дефиницията на твърдението, че редицата $a_n$ има граница числото $a$ .
Следователно $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ .

Тъй като доказахме и двете посоки, твърдението е вярно. Практически това означава, че разликата между членовете на редицата и нейната граница е безкрайно малка редица.

II. Ограниченост и сходимост

Задача 1: Ограничено ли е отгоре и отдолу множеството на:

а) естествените числа

Решение: За да определим дали множеството на естествените числа ( $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, n, \dots\}$ ) е ограничено, трябва да проверим дали съществуват реални числа, които да служат за негова долна и горна граница.

Ограниченост отдолу:
- Естествените числа започват от $1$ и растат.
- Тъй като за всяко естествено число $n$ е в сила неравенството $n \geq 1$ , числото $1$ (или всяко число по-малко от него, например $0$ или $-5$ ) е долна граница на множеството.
- Следователно множеството е ограничено отдолу.
Ограниченост отгоре:
- Множеството на естествените числа е безкрайно и за всяко число $M$ , колкото и голямо да е то, съществува естествено число $n$ , такова че $n > M$ (Аксиома на Архимед).
- Тъй като няма реално число, което да е по-голямо от или равно на всички естествени числа, множеството не е ограничено отгоре.

Множеството на естествените числа е ограничено само отдолу, но не и отгоре.

б) четните числа, по-малки от 51
в) двуцифрените числа
г) числата от интервалите: $(-2; 5) \cup (4; +\infty)$
д) реципрочните стойности на положителните нечетни числа

Задача 2: Ограничена ли е редицата с общ член:

а) $a_n = (-4)^n$

Решение: За да определим дали редицата $a_n = (-4)^n$ е ограничена, трябва да проверим дали съществуват такива реални числа $m$ и $M$ , че за всеки член на редицата да е изпълнено $m \leq a_n \leq M$ .

Нека запишем първите няколко члена на редицата:

При $n=1$ : $a_1 = (-4)^1 = -4$
При $n=2$ : $a_2 = (-4)^2 = 16$
При $n=3$ : $a_3 = (-4)^3 = -64$
При $n=4$ : $a_4 = (-4)^4 = 256$

Ограниченост отгоре: С нарастването на четните стойности на $n$ ( $2, 4, 6 \dots$ ), стойностите на $a_n$ стават положителни и растат неограничено към $+\infty$ ( $16, 256, 4096 \dots$ ). Следователно редицата не е ограничена отгоре.
Ограниченост отдолу: С нарастването на нечетните стойности на $n$ ( $1, 3, 5 \dots$ ), стойностите на $a_n$ стават отрицателни и намаляват неограничено към $-\infty$ ( $-4, -64, -1024 \dots$ ). Следователно редицата не е ограничена отдолу.

Редицата $a_n = (-4)^n$ е неограничена (нито отгоре, нито отдолу). Тя е типичен пример за редица, която „пулсира“ с нарастващ размах.

б) $a_n = (-1)^n + 1$
в) $a_n = 2n - 1$
г) $a_n = \frac{n+3}{n+1}$
д) $a_n = \frac{5n-1}{4}$

Задача 4: Сходяща ли е редицата:

а) $1, 2, 3, \dots$

За да определим дали редицата $1, 2, 3, \dots, n, \dots$ е сходяща, трябва да проверим дали тя има крайна граница съгласно дефиницията.

Редицата е съставена от естествените числа, където общият член е $a_n = n$ .

Поведение на редицата: С нарастването на $n$ , членовете на редицата растат неограничено.
Ограниченост: Както установихме по-рано, тази редица не е ограничена отгоре.
Връзка със сходимостта: Съгласно една от основните теореми, всяка сходяща редица е ограничена. Тъй като редицата $a_n = n$ е неограничена, тя не може да бъде сходяща.

Редицата $1, 2, 3, \dots$ не е сходяща (тя е разходяща към $+\infty$ ).

б) $-2, -1, 0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$
в) $0.2, -0.2, 0.2, -0.2, \dots$
г) $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \dots$

III. Пресмятане на граници

Задача 3: Намерете границата на редицата с общ член:

а) $\frac{1}{5n^2}$

Трябва да пресметнем:

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n^2}

Можем да изнесем константата $\frac{1}{5}$ пред знака за граница:

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n^2} = \frac{1}{5} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}

Знаем, че за всяко положително число $k$ , границата $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$ . В нашия случай $k=2$ , което означава, че докато $n$ расте към безкрайност, стойността на $n^2$ расте още по-бързо, а дробта $\frac{1}{n^2}$ става безкрайно малка.

\frac{1}{5} \cdot 0 = 0

Границата на редицата е 0.

в) $\frac{8n-5}{2n}$
г) $\lim \frac{10n^2-1}{5n^2+n+1} = \frac{10}{5} = \mathbf{2}$ .
д) $\frac{6n^3-2n^2+n}{5n^3-3n^2+n^2-1}$
е)$\left( \frac{n+1}{2n} \right)^3$
ж) $\frac{1+2+3+\dots+n}{n^2+1}$

Задача 4: Намерете границата на редицата с общ член (корени и модули):

а) $\frac{1}{\sqrt{n}}$

\frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{1}{n}}

Съгласно алгебричните свойства на границите, ако редицата под корена е сходяща и неотрицателна, можем да извършим следното:

\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{1}{n}} = \sqrt{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}

Знаем, че $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ . Това е фундаментален резултат — когато знаменателят расте неограничено, стойността на дробта клони към нула.

\sqrt{0} = 0

Границата на редицата е 0.

б) $\frac{\sqrt{7n^2+1}}{\sqrt{8n^2-2}}$
в) $\left| \frac{n^3-n+4}{n^2} - n \right|$
г) $\sqrt{\frac{4n-1}{n}}$
д) $\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}$
е) $\left| \frac{n^3-n+4}{n^2} - n \right|$
ж) $\lim |\sqrt{n+1} - \sqrt{n}| = \lim \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \lim \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \mathbf{0}$ .

Задача 6: За Спиралата на Теодорос (Отсечка ОА1 е с дължина 1, отсечки ОА2, OА3, OА4 и т.н. ОАn са хипотенузи на правоъгълни триъгълници с общ връх О. Катетите срещу О са с дължина 1, хипотенузата на всеки триъгълник е катет на следващия) намерете:

а) $\lim_{n \to \infty} \tan \alpha_n$

Спиралата се състои от последователни правоъгълни триъгълници. Нека разгледаме дължините на хипотенузите $OA_n$ :

Първи триъгълник ( $OA_1$ ): Катетите са $1$ и $1$ . По Питагоровата теорема хипотенузата е $OA_1 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ . (В някои дефиниции $OA_1 = 1$ , тогава $OA_2 = \sqrt{2}$ . Тук следваме логиката на чертежа, където хипотенузата расте с всяка стъпка).
Общ случай: Хипотенузата на предходния триъгълник става катет на следващия. Втория катет винаги е $1$ .
- $OA_1 = \sqrt{1}$ (начална отсечка)
- $OA_2 = \sqrt{(\sqrt{1})^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
- $OA_3 = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$
- Следователно, дължината на $n$ -тата хипотенуза е $OA_n = \sqrt{n}$ .

Търсим границата на тангенса от ъгъла $\alpha_n$ . Ъгълът $\alpha_n$ е острият ъгъл при върха $O$ в $n$ -тия триъгълник.

Дефиниция на тангенс: В правоъгълен триъгълник $\tan \alpha$ е равно на отношението на срещулежащия катет към прилежащия катет.
Прилагане за $n$ -тия триъгълник:
- Срещулежащ катет (винаги константа): $1$
- Прилежащ катет (това е хипотенузата на предходния триъгълник): $OA_{n-1} = \sqrt{n-1}$
- Следователно: $\tan \alpha_n = \frac{1}{\sqrt{n-1}}$
Пресмятане на границата:

$\lim_{n \to \infty} \tan \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n-1}}$

Тъй като знаменателят $\sqrt{n-1}$ расте неограничено към безкрайност, когато $n \to \infty$ , цялата дроб клони към $0$ .

$$\lim_{n \to \infty} \tan \alpha_n = 0$$

Това означава, че с разширяването на спиралата, триъгълниците стават все по-„тънки“ и острият ъгъл при центъра $O$ става все по-малък, приближавайки се до нула.

б) $\lim_{n \to \infty} \cos \alpha_n$
в) $\lim_{n \to \infty} (OA_{n+1} - OA_n)$