Действия със сходящи редици

1. Фундаментални дефиниции и теореми

• Дефиниция за граница ($\epsilon$–$\nu$ дефиниция): Числото $a$ е граница на редицата $a_n$, ако за всяко $\epsilon > 0$ съществува такова число $\nu$, че при $n > \nu$ е изпълнено $|a_n – a| < \epsilon$.

• Връзка между сходимост и ограниченост: Всяка сходяща редица е ограничена. Ако една редица е неограничена (като в Задача 2а, в, д), тя е разходяща.

• Теорема на Вайерщрас: Всяка монотонна и ограничена редица е сходяща.

• Теорема за „двамата полицаи“ (Squeeze Theorem): Ако $x_n \leq a_n \leq y_n$ и $\lim x_n = \lim y_n = a$, тогава и $\lim a_n = a$.

• Еквивалентност: $\lim a_n = a \iff \lim (a_n – a) = 0$.

2. Основни алгебрични свойства

Ако имаме две сходящи редици $\lim a_n = A$ и $\lim b_n = B$, тогава:

• Сума и разлика: $\lim (a_n \pm b_n) = A \pm B$.

• Произведение: $\lim (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$.

• Частно: $\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$ (при $b_n \neq 0$ и $B \neq 0$).

• Модул: $\lim |a_n| = |A|$.

3. Умножение с коефициент и степенуване

• Умножение с константа ($c$): $\lim (c \cdot a_n) = c \cdot \lim a_n$. Можете да изнасяте числата пред символа за граница.

• Степенуване: $\lim (a_n)^k = (\lim a_n)^k$.

4. Свойства при коренуване

• Вкарване под корен: Ако $a_n \geq 0$, то за всяко естествено число $k$ е в сила: $\lim \sqrt[k]{a_n} = \sqrt[k]{\lim a_n}$.

• Важни основни граници:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[k]{n}} = 0$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$ за всяко $k > 0$.

$\lim_{n \to \infty} q^n = 0$ ако $|q| < 1$.

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$.

5. Практически техники и „специални“ граници

• Рационализиране: При разлика от корени ($\infty – \infty$) (например $\sqrt{n^2+n+1} – \sqrt{n^2-n+1}$), умножете и разделете със спрегнатия израз ($a+b$), за да използвате $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$.

• Полиноми: При дроби с полиноми, винаги разделяйте числителя и знаменателя на най-високата степен на $n$ от знаменателя.

• Суми: Сума на аритметична прогресия $1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Задачи:

I. Доказателства чрез дефиницията за граница

Задача 1: Като използвате дефиницията за граница, докажете, че:

• а) $\frac{5}{7n+1} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$

Решение: имаме $a_n = \frac{5}{7n+1}$ и предполагаема граница $a = 0$. Трябва да докажем, че:

Тъй като $n$ е естествено число ($n \geq 1$), изразът $7n+1$ е винаги положителен, затова можем да премахнем модула:

Сега изолираме $n$:

1. Умножаваме по $(7n+1)$ и разделяме на $\epsilon$:

   $$\frac{5}{\epsilon} < 7n+1$$

2. Изваждаме 1 от двете страни:

   $$\frac{5}{\epsilon} – 1 < 7n$$

3. Разделяме на 7:

   $$n > \frac{1}{7} \left( \frac{5}{\epsilon} – 1 \right)$$

За всяко произволно избрано $\epsilon > 0$, можем да изберем числото $\nu$ да бъде по-голямо от получената стойност.

• б) $\frac{3}{n^2} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$

• в) $\frac{1}{\sqrt{n+9}} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$

• г) $\frac{3n+1}{n+1} \xrightarrow[n \to \infty]{} 3$

• д) $\frac{n^2}{n^2+2} \xrightarrow[n \to \infty]{} 1$

• е) $\frac{1}{\sqrt{n^2+4}} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$

Теоретични доказателства:

• Задача 2: Докажете, че никое реално число не е граница на редицата $2, -2, 2, -2, \dots$

• Задача 3: Докажете, че $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ точно тогава, когато $\lim_{n \to \infty} (a_n – a) = 0$

Решение: 1. Права посока ($\implies$)

Дадено: $\lim_{n \to \infty} a_n = a$

Трябва да докажем: $\lim_{n \to \infty} (a_n – a) = 0$

1. От дефиницията за граница знаем, че за всяко $\epsilon > 0$ съществува число $\nu$, такова че при $n > \nu$ е изпълнено неравенството $|a_n – a| < \epsilon$.

2. Нека разгледаме новата редица $b_n = a_n – a$. Търсим нейната граница спрямо числото $0$.

3. Записваме дефиницията за $b_n$: $|b_n – 0| < \epsilon$.

4. Заместваме $b_n$: $|(a_n – a) – 0| < \epsilon$, което е точно $|a_n – a| < \epsilon$.

5. Тъй като това неравенство е изпълнено по условие за същото $\nu$, следва че $\lim_{n \to \infty} (a_n – a) = 0$.

2. Обратна посока ($\impliedby$)

Дадено: $\lim_{n \to \infty} (a_n – a) = 0$

Трябва да докажем: $\lim_{n \to \infty} a_n = a$

1. По дефиниция, $\lim_{n \to \infty} (a_n – a) = 0$ означава, че за всяко $\epsilon > 0$ съществува число $\nu$, такова че при $n > \nu$ е в сила $|(a_n – a) – 0| < \epsilon$.

2. Опростяваме израза в модула: $|a_n – a| < \epsilon$.

3. Това е точно дефиницията на твърдението, че редицата $a_n$ има граница числото $a$.

4. Следователно $\lim_{n \to \infty} a_n = a$.

Тъй като доказахме и двете посоки, твърдението е вярно. Практически това означава, че разликата между членовете на редицата и нейната граница е безкрайно малка редица.

II. Ограниченост и сходимост

Задача 1: Ограничено ли е отгоре и отдолу множеството на:

• а) естествените числа

Решение: За да определим дали множеството на естествените числа ($\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, n, \dots\}$) е ограничено, трябва да проверим дали съществуват реални числа, които да служат за негова долна и горна граница.

• Ограниченост отдолу:

  • Естествените числа започват от $1$ и растат.

  • Тъй като за всяко естествено число $n$ е в сила неравенството $n \geq 1$, числото $1$ (или всяко число по-малко от него, например $0$ или $-5$) е долна граница на множеството.

  • Следователно множеството е ограничено отдолу.

• Ограниченост отгоре:

  • Множеството на естествените числа е безкрайно и за всяко число $M$, колкото и голямо да е то, съществува естествено число $n$, такова че $n > M$ (Аксиома на Архимед).

  • Тъй като няма реално число, което да е по-голямо от или равно на всички естествени числа, множеството не е ограничено отгоре.

Множеството на естествените числа е ограничено само отдолу, но не и отгоре.

• б) четните числа, по-малки от 51

• в) двуцифрените числа

• г) числата от интервалите: $(-2; 5) \cup (4; +\infty)$

• д) реципрочните стойности на положителните нечетни числа

Задача 2: Ограничена ли е редицата с общ член:

• а) $a_n = (-4)^n$

Решение: За да определим дали редицата $a_n = (-4)^n$ е ограничена, трябва да проверим дали съществуват такива реални числа $m$ и $M$, че за всеки член на редицата да е изпълнено $m \leq a_n \leq M$.

Нека запишем първите няколко члена на редицата:

• При $n=1$: $a_1 = (-4)^1 = -4$

• При $n=2$: $a_2 = (-4)^2 = 16$

• При $n=3$: $a_3 = (-4)^3 = -64$

• При $n=4$: $a_4 = (-4)^4 = 256$

1. Ограниченост отгоре: С нарастването на четните стойности на $n$ ($2, 4, 6 \dots$), стойностите на $a_n$ стават положителни и растат неограничено към $+\infty$ ($16, 256, 4096 \dots$). Следователно редицата не е ограничена отгоре.

2. Ограниченост отдолу: С нарастването на нечетните стойности на $n$ ($1, 3, 5 \dots$), стойностите на $a_n$ стават отрицателни и намаляват неограничено към $-\infty$ ($-4, -64, -1024 \dots$). Следователно редицата не е ограничена отдолу.

Редицата $a_n = (-4)^n$ е неограничена (нито отгоре, нито отдолу). Тя е типичен пример за редица, която „пулсира“ с нарастващ размах.

• б) $a_n = (-1)^n + 1$

• в) $a_n = 2n – 1$

• г) $a_n = \frac{n+3}{n+1}$

• д) $a_n = \frac{5n-1}{4}$

Задача 4: Сходяща ли е редицата:

• а) $1, 2, 3, \dots$

За да определим дали редицата $1, 2, 3, \dots, n, \dots$ е сходяща, трябва да проверим дали тя има крайна граница съгласно дефиницията.

Редицата е съставена от естествените числа, където общият член е $a_n = n$.

1. Поведение на редицата: С нарастването на $n$, членовете на редицата растат неограничено.

2. Ограниченост: Както установихме по-рано, тази редица не е ограничена отгоре.

3. Връзка със сходимостта: Съгласно една от основните теореми, всяка сходяща редица е ограничена. Тъй като редицата $a_n = n$ е неограничена, тя не може да бъде сходяща.

Редицата $1, 2, 3, \dots$ не е сходяща (тя е разходяща към $+\infty$).

• б) $-2, -1, 0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$

• в) $0.2, -0.2, 0.2, -0.2, \dots$

• г) $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \dots$

III. Пресмятане на граници

Задача 3: Намерете границата на редицата с общ член:

• а) $\frac{1}{5n^2}$

Трябва да пресметнем:

Можем да изнесем константата $\frac{1}{5}$ пред знака за граница:

Знаем, че за всяко положително число $k$, границата $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$. В нашия случай $k=2$, което означава, че докато $n$ расте към безкрайност, стойността на $n^2$ расте още по-бързо, а дробта $\frac{1}{n^2}$ става безкрайно малка.

Границата на редицата е 0.

• в) $\frac{8n-5}{2n}$

• г) $\frac{10n^2-1}{5n^2+n+1}$.

• д) $\frac{6n^3-2n^2+n}{5n^3-3n^2+n^2-1}$

• е)$\left( \frac{n+1}{2n} \right)^3$

• ж) $\frac{1+2+3+\dots+n}{n^2+1}$

Задача 4: Намерете границата на редицата с общ член (корени и модули):

• а) $\frac{1}{\sqrt{n}}$

Съгласно алгебричните свойства на границите, ако редицата под корена е сходяща и неотрицателна, можем да извършим следното:

Знаем, че $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$. Това е фундаментален резултат — когато знаменателят расте неограничено, стойността на дробта клони към нула.

Границата на редицата е 0.

• б) $\frac{\sqrt{7n^2+1}}{\sqrt{8n^2-2}}$

• в) $\left| \frac{n^3-n+4}{n^2} – n \right|$

• г) $\sqrt{\frac{4n-1}{n}}$

• д) $\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}$

• е) $\left| \frac{n^3-n+4}{n^2} – n \right|$

• ж) $\|\sqrt{n+1} – \sqrt{n}|$.

Задача 6: За Спиралата на Теодорос (Отсечка ОА1 е с дължина 1, отсечки ОА2, OА3, OА4 и т.н. ОАn са хипотенузи на правоъгълни триъгълници с общ връх О. Катетите срещу О са с дължина 1, хипотенузата на всеки триъгълник е катет на следващия) намерете:

• а) $\lim_{n \to \infty} \tan \alpha_n$

Спиралата се състои от последователни правоъгълни триъгълници. Нека разгледаме дължините на хипотенузите $OA_n$:

1. Първи триъгълник ($OA_1$): Катетите са $1$ и $1$. По Питагоровата теорема хипотенузата е $OA_1 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. (В някои дефиниции $OA_1 = 1$, тогава $OA_2 = \sqrt{2}$. Тук следваме логиката на чертежа, където хипотенузата расте с всяка стъпка).

2. Общ случай: Хипотенузата на предходния триъгълник става катет на следващия. Втория катет винаги е $1$.

   • $OA_1 = \sqrt{1}$ (начална отсечка)

   • $OA_2 = \sqrt{(\sqrt{1})^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

   • $OA_3 = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

   • Следователно, дължината на $n$-тата хипотенуза е $OA_n = \sqrt{n}$.

Търсим границата на тангенса от ъгъла $\alpha_n$. Ъгълът $\alpha_n$ е острият ъгъл при върха $O$ в $n$-тия триъгълник.

1. Дефиниция на тангенс: В правоъгълен триъгълник $\tan \alpha$ е равно на отношението на срещулежащия катет към прилежащия катет.

2. Прилагане за $n$-тия триъгълник:

   • Срещулежащ катет (винаги константа): $1$

   • Прилежащ катет (това е хипотенузата на предходния триъгълник): $OA_{n-1} = \sqrt{n-1}$

   • Следователно: $\tan \alpha_n = \frac{1}{\sqrt{n-1}}$

3. Пресмятане на границата:

   $$\lim_{n \to \infty} \tan \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n-1}}$$

   Тъй като знаменателят $\sqrt{n-1}$ расте неограничено към безкрайност, когато $n \to \infty$, цялата дроб клони към $0$.

$$\lim_{n \to \infty} \tan \alpha_n = 0$$

Това означава, че с разширяването на спиралата, триъгълниците стават все по-„тънки“ и острият ъгъл при центъра $O$ става все по-малък, приближавайки се до нула.

• б) $\lim_{n \to \infty} \cos \alpha_n$

• в) $\lim_{n \to \infty} (OA_{n+1} – OA_n)$

© София-Мат ЕООД