Двустенен ъгъл. Перпендикулярност на две равнини. Разстояние между точка и равнина.

Двустенен ъгъл

Двустенен ъгъл се нарича фигурата, образувана от две полуравнини с общ контур (права).

Линеен ъгъл: За да измерим двустенния ъгъл, построяваме две прави — по една във всяка полуравнина, които са перпендикулярни на общия им ръб в една и съща точка. Ъгълът между тези две прави е линейният ъгъл на двустенния ъгъл.

Перпендикулярност на две равнини

Две равнини са перпендикулярни, ако линейният ъгъл на двустенния ъгъл между тях е $90^\circ$ .

Признак: Ако една права е перпендикулярна на дадена равнина, то всяка равнина, минаваща през тази права, е перпендикулярна на дадената равнина.

Разстояние от точка до равнина

Разстоянието от точка $M$ до равнина $\alpha$ е дължината на перпендикуляра, спуснат от точката към равнината. Ако $M_0$ е проекцията на $M$ върху $\alpha$ , то разстоянието е отсечката $MM_0$ .

Геометрично определение

Разстояние от точка $M$ до равнина $\alpha$ се нарича дължината на перпендикуляра, спуснат от точката към равнината.

Ако спуснем перпендикуляр от точка $M$ към равнината $\alpha$ и той я пресича в точка $M_0$ (наречена ортогонална проекция), то отсечката $MM_0$ е разстоянието.
Това разстояние винаги е най-краткото разстояние между точката и коя да е друга точка от равнината. Всяка друга отсечка, свързваща $M$ с точка от $\alpha$ , се нарича наклонена и е винаги по-дълга от перпендикуляра.

Аналитична формула (в координатна система)

Ако разполагаме с координатите на точката и общото уравнение на равнината, можем да изчислим разстоянието директно.

Точка: $M(x_0, y_0, z_0)$
Равнина $\alpha$ : $Ax + By + Cz + D = 0$

Формулата за разстоянието $d$ е:

d = \frac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Какво ни казват компонентите?

Числителят $|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|$ ни показва колко „далеч“ е точката от удовлетворяване на уравнението на равнината. Ако резултатът е $0$ , точката лежи в равнината.
Знаменателят $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ е всъщност дължината (нормата) на нормалния вектор $\vec{n}(A, B, C)$ , който е перпендикулярен на равнината.

Примерни задачи

Задача 1: В куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ръб $a$ намерете разстоянието от точка $A$ до равнината $(BDC_1)$ .

Решение: Равнината $(BDC_1)$ пресича куба в равностранен триъгълник. Тъй като кубът е симетричен спрямо диагонала $AC_1$ , перпендикулярът от $A$ към $(BDC_1)$ лежи на този диагонал. Чрез обем на пирамида $ABDC_1$ можем да намерим височината: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABD} \cdot CC_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a = \frac{a^3}{6}$ . Лицето на $BDC_1$ е $S = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$ . От $V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \Rightarrow h = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Задача 2: Две равнини сключват ъгъл $60^\circ$ . Точка $M$ е на разстояние $10\text{ cm}$ от едната и на $15\text{ cm}$ от другата. Намерете разстоянието от $M$ до пресечницата им.

Решение: Нека разстоянието до пресечницата е $x$ . Тогава $10 = x \cdot \sin \varphi_1$ и $15 = x \cdot \sin \varphi_2$ , където $\varphi_1 + \varphi_2 = 60^\circ$ или $120^\circ$ . Решава се чрез тригонометрична система.

Задачи за упражнение

Основни задачи

Даден е куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ . Докажете, че равнините $(ACC_1)$ и $(BDD_1)$ са перпендикулярни.
Намерете ъгъла между стена и основа на правилна четириъгълна пирамида с всички ръбове равни на $a$ .
Точка $A$ е на разстояния $3, 4$ и $5$ от три взаимно перпендикулярни равнини. Намерете разстоянието от $A$ до пресечната точка на трите равнини.
В правилна триъгълна пирамида околният ръб е $b$ , а основният ръб е $a$ . Намерете височината към основата.
Намерете разстоянието между два срещуположни ръба на правилен тетраедър с ръб $a$ .
Равнините на два равностранни триъгълника $ABC$ и $ABD$ с обща страна $AB$ сключват ъгъл $90^\circ$ . Намерете $CD$ , ако $AB = a$ .
Докажете, че ако три прави са взаимно перпендикулярни, то всяка от тях е перпендикулярна на равнината на другите две.
Намерете ъгъла между две съседни околни стени на правилна четириъгълна пирамида с ъгъл при върха на околната стена $2\alpha$ .
Даден е правоъгълен паралелепипед. Намерете разстоянието от връх до негов диагонал, неминаващ през него.
Точка $P$ е на разстояние $h$ от равнина $\alpha$ . Намерете дължината на наклонена, сключваща $30^\circ$ с $\alpha$ .
Две равнини са перпендикулярни. Точка $M$ е на разстояние $a$ от едната и $b$ от другата. Намерете разстоянието до пресечницата.
В правилна шестоъгълна призма намерете ъгъла между равнините на две съседни околни стени.
Проекцията на отсечка върху равнина е $12\text{ cm}$ , а самата отсечка е $13\text{ cm}$ . Намерете разстоянието от единия край до равнината, ако другият лежи на нея.
Намерете геометричното място на точки в пространството, равноотдалечени от две пресичащи се равнини.
Ако една права е успоредна на една равнина, успоредна ли е тя на всяка равнина, перпендикулярна на дадената?

Усложнени задачи

Сфера и ъгъл: Сфера е допирателна до двете страни на двустенен ъгъл от $120^\circ$ . Намерете разстоянието от центъра на сферата до ръба на ъгъла, ако радиусът е $R$ .
Оптимизация: Намерете точка върху пресечницата на две перпендикулярни равнини, така че сумата от разстоянията до две фиксирани точки (по една във всяка равнина) да е минимална.
Сечение: През средата на височината на правилна четириъгълна пирамида прекарайте равнина, перпендикулярна на околен ръб. Намерете лицето на сечението.
Въртене: Правоъгълник се върти около права в пространството, успоредна на едната му страна. Опишете тялото и разстоянието от произволна точка до оста.
Тетраедър: Докажете, че сумата от разстоянията от произволна вътрешна точка на правилен тетраедър до стените му е постоянна величина.

Разширени задачи (стереометрия)

Теми: Успоредност, Трите перпендикуляра (ТТП)

Права $a$ е успоредна на равнина $\alpha$ . Намерете разстоянието между тях, ако отсечка $AB$ от правата има проекция $A'B'$ и $AA' \perp \alpha$ .
През точка извън равнина прекарайте права, успоредна на равнината и перпендикулярна на дадена права в нея.
ТТП: Даден е квадрат $ABCD$ . Отсечка $MS \perp (ABC)$ . Докажете, че $MD \perp CD$ и $MB \perp BC$ .
Равнини $\alpha$ и $\beta$ са успоредни. Точка $A \in \alpha$ , $B \in \beta$ . Намерете ГМТ (Геометрично място на точки), които са среди на отсечката $AB$ .
Намерете ъгъла между права, пресичаща равнина, и нейната проекция, ако правата сключва равни ъгли с три взаимно перпендикулярни прави в равнината.
Дадена е права $l \parallel \alpha$ . Докажете, че разстоянието от коя да е точка на $l$ до $\alpha$ е константа.
Равнините $\alpha$ и $\beta$ се пресичат в права $g$ . Права $a \subset \alpha$ е успоредна на $g$ . Намерете разстоянието от $a$ до $\beta$ .
Постройте равнина, минаваща през точка $M$ и перпендикулярна на две пресичащи се равнини.
Докажете, че ако права е перпендикулярна на една от две успоредни равнини, тя е перпендикулярна и на другата.
Използвайте ТТП, за да намерите разстоянието от връх на куб до негов пространствен диагонал.
Дадена е наклонена $AM$ към равнина $\alpha$ . През $A$ в $\alpha$ прекарайте права, перпендикулярна на проекцията на $AM$ . Докажете перпендикулярност.
Две успоредни прави $a$ и $b$ лежат в различни равнини, които се пресичат. Докажете, че $a$ и $b$ са успоредни на пресечницата.

Разширени задачи (вектори и аналитична геометрия)

Дадена е равнина $\alpha: 2x - y + 2z - 6 = 0$ . Намерете разстоянието от точка $M(1, 4, -3)$ до нея.
Намерете ъгъла между равнините $x + y + \sqrt{2}z - 5 = 0$ и $x + y = 0$ чрез техните нормални вектори.
Докажете чрез векторно произведение, че равнините с нормални вектори $\vec{n_1}(1, -2, 1)$ и $\vec{n_2}(2, 1, 0)$ са перпендикулярни.
Напишете уравнение на равнина, минаваща през $P(1, 0, 2)$ и успоредна на равнината $3x - 2y + z + 4 = 0$ .
Дадени са точки $A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)$ . Намерете уравнението на равнината $(ABC)$ и разстоянието от координатното начало до нея.
Намерете ъгъла между правата $\frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$ и равнината $x + y + z = 0$ (използвайте синус от ъгъла между направляващия и нормалния вектор).
Определете координатите на проекцията на точка $M(5, 4, -1)$ върху равнината $x + 2y + 3z - 6 = 0$ .
Намерете разстоянието между успоредните равнини $x - 2y + 2z - 3 = 0$ и $x - 2y + 2z + 9 = 0$ .
С помощта на скаларно произведение намерете ъгъла между два диагонала на стени на куб, които излизат от един и същи връх.
Напишете уравнение на равнина, която минава през правата на пресичане на две равнини и е перпендикулярна на трета.
Центърът на тежестта на триъгълник $ABC$ има координати $G$ . Намерете разстоянието от $G$ до равнината $Ozx$ , ако са дадени координатите на върховете.
Използвайте вектори, за да докажете, че диагоналите на ромб (в пространството) са перпендикулярни.