Граница на числова редица - Школа по математика София-Мат

Въведение в числовите редици

Числовата редица е функция, чиято дефиниционна област е множеството на естествените числа $\mathbb{N}$ . Тя представлява безкрайна съвкупност от числа $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ , подредени по точно определено правило. Всеки елемент $a_n$ се нарича общ член на редицата.

Примери за редици са аритметичната прогресия ( $a_n = a_1 + (n-1)d$ ), геометричната прогресия ( $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ ) или редицата от реципрочни числа ( $a_n = \frac{1}{n}$ ).

Монотонност и ограниченост

Преди да изследваме границата на една редица, е важно да разберем нейните вътрешни свойства:

Монотонност:
- Растяща: $a_{n+1} > a_n$ за всяко $n$ .
- Намаляваща: $a_{n+1} < a_n$ за всяко $n$ .
- За проверка обикновено се изследва знакът на разликата $a_{n+1} - a_n$ или се сравнява частното $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ с единица (при положителни членове).

Редиците, които са растящи или намаляващи, се наричат с общото име монотонни редици.

Ограниченост:
- Ограничена отгоре: Съществува число $M$ , такова че $a_n \leq M$ за всяко $n$ .
- Ограничена отдолу: Съществува число $m$ , такова че $a_n \geq m$ за всяко $n$ .
- Ограничена редица: Когато е ограничена едновременно и отгоре, и отдолу ( $m \leq a_n \leq M$ ).

Понятие за граница на редица

Числото $A$ се нарича граница на редицата $\{a_n\}$ , ако при неограничено нарастване на номера $n$ , членовете на редицата стават произволно близки до $A$ .

С други думи, ако редицата има граница, това е числото, около което се сгъстяват членовете на редицата, когато отиваме все по-напред в нея. Такива редици се наричат ограничени.

Строга дефиниция (по Коши):

Числото $A$ е граница на редицата $\{a_n\}$, ако за всяко $\epsilon > 0$ съществува такъв номер $N(\epsilon)$, че за всички $n > N$ е изпълнено:

|a_n - A| < \epsilon

$|a_n - A|$ е разстоянието между члена на редицата и границата.
$\epsilon$ е допустимата грешка (радиусът на околността).
$N$ е „прагът“, след който редицата става достатъчно точна.

Ако редицата притежава крайна граница, тя се нарича сходяща. В противен случай тя е разходяща.

Записваме го така: $\lim_{n \to \infty} a_n = A$ .

Важно е да се отбележи, че всяка сходяща редица е ограничена, но не всяка ограничена редица е сходяща (например $a_n = (-1)^n$ е ограничена, но няма граница). Ограничеността означава просто, че членовете на редицата не „избягват“ към безкрайност – те стоят в някакъв затворен интервал. Това обаче не гарантира, че те ще се приближат към едно конкретно число. Редицата може да „се колебае“ вечно между две или повече стойности.

Теорема на Вайерщрас

Тази теорема е фундаментален мост между свойствата на редицата и съществуването на нейната граница.

Теорема: Всяка монотонна и ограничена редица е сходяща.

Ако $a_n$ е растяща и ограничена отгоре, тя има граница.
Ако $a_n$ е намаляваща и ограничена отдолу, тя има граница.

Примерен анализ с използване на теоремата

Да разгледаме редицата $a_n = \frac{n}{n+1}$ .

Монотонност: Вече знаем как да докажем, че е растяща ( $a_{n+1} - a_n > 0$ ).
Ограниченост: Тъй като числителят е винаги по-малък от знаменателя, $a_n < 1$ за всяко $n$ . Редицата е ограничена отгоре от числото $1$ .
Заключение по Вайерщрас: Тъй като редицата е растяща и ограничена отгоре, тя задължително има граница. (В случая границата е $1$ ).

Основни свойства на границите

Ако $\lim_{n \to \infty} a_n = A$ и $\lim_{n \to \infty} b_n = B$ , то са в сила следните правила:

$\lim (a_n \pm b_n) = A \pm B$
$\lim (c \cdot a_n) = c \cdot A$
$\lim (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$
$\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$ (при $b_n \neq 0$ и $B \neq 0$ )

Примерни задачи

Задача 1: Докажете, че редицата $a_n = \frac{n}{n+2}$ е растяща и ограничена отгоре.

Монотонност: $a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+3} - \frac{n}{n+2} = \frac{2}{(n+3)(n+2)}$ . Тъй като $n \geq 1$ , разликата е винаги положителна $\Rightarrow$ редицата е растяща.
Ограниченост: $a_n = \frac{n}{n+2} < 1$ , защото числителят е винаги по-малък от знаменателя. Следователно е ограничена отгоре от числото $1$ .
Извод: Съгласно теоремата на Вайерщрас, редицата е сходяща.

Задача 2: Докажете, че редицата $a_n = \frac{n}{n+2}$ е растяща

Трябва да проверим дали $a_{n+1} – a_n > 0$.

Записваме $a_{n+1}$ : $\frac{n+1}{(n+1)+2} = \frac{n+1}{n+3}$ .
Образуваме разликата:
$a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+3} - \frac{n}{n+2} = \frac{(n+1)(n+2) - n(n+3)}{(n+3)(n+2)}$
Разкриваме скобите в числителя:
$\frac{n^2 + 3n + 2 - (n^2 + 3n)}{(n+3)(n+2)} = \frac{2}{(n+3)(n+2)}$

Тъй като $n$ е естествено число ($n \geq 1$), числителят и знаменателят са винаги положителни. Следователно разликата е $> 0$ и редицата е растяща.

Задача 3: Пресметнете $\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 5}{2n – 1}$.

Разделяме числителя и знаменателя на $n$:

\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{n}}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{3 + 0}{2 - 0} = 1,5

Задача 4: Анализ на редицата $a_n = 1 + (-1)^n$.

Редицата приема стойности $\{0, 2, 0, 2, \dots\}$. Тя е ограничена ($0 \leq a_n \leq 2$), но не е монотонна и няма граница, защото стойностите ѝ не се приближават към едно конкретно число.

Задача 5: Дадена е редица, описваща пазарен дял $P_n = 0,4 - \frac{1}{n+2}$ . Ограничена ли е тя отгоре и от кое число?

Редицата е зададена с формулата $P_n = 0,4 – \frac{1}{n+2}$.

Тук имаме константа ($0,4$), от която изваждаме дробта $\frac{1}{n+2}$.

2. Изследване на дробта $\frac{1}{n+2}$

Тъй като $n$ е естествено число ($n = 1, 2, 3, \dots$):

Знаменателят $n+2$ е винаги положително число и става все по-голям с нарастването на $n$ .
Самата дроб $\frac{1}{n+2}$ винаги е положителна стойност.
С нарастването на $n$ , дробта става все по-малка и се приближава към $0$ .

3. Определяне на ограничеността отгоре

Тъй като от числото $0,4$ винаги изваждаме някаква положителна стойност (макар и много малка), крайният резултат винаги ще бъде по-малък от $0,4$.

Математически можем да го запишем така:

За всяко $n \in \mathbb{N}$:

\frac{1}{n+2} > 0

Ако умножим по $-1$, посоката на неравенството се сменя:

- \frac{1}{n+2} < 0

Сега добавяме $0,4$ към двете страни:

0,4 - \frac{1}{n+2} < 0,4 + 0

P_n < 0,4

Редицата е ограничена отгоре и нейното ограничително число (горна граница) е $0,4$ .

Практика

Границата на една редица ни позволява да боравим с безкрайността по контролиран начин. Ето къде това намира пряко приложение:

1. Финансови изчисления и лихви

Един от най-известните примери е дефинирането на числото $e$ (Неперовото число). То възниква при разглеждането на сложна лихва, която се начислява все по-често (всеки ден, час, секунда).

Ако вложите 1 лв. при 100% лихва, която се капитализира $n$ пъти в годината, сумата след една година ще бъде:

a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

Границата на тази редица при $n \to \infty$ е точно числото $e \approx 2,718$. Това е фундаментално за банковото дело и изчисляването на непрекъснат растеж.

2. Компютърни алгоритми и изкуствен интелект

Когато един програмист пише алгоритъм за оптимизация (например в машинното обучение), той създава редица от стъпки. Всяка следваща стъпка трябва да приближава компютъра все по-близо до най-доброто решение (минимума на грешката).

Сходимостта на този алгоритъм гарантира, че той ще даде верен отговор, вместо да работи вечно или да дава случайни резултати.
Теоремата на Вайерщрас се използва тук, за да се докаже, че ако грешката постоянно намалява и е ограничена отдолу (от нула), то алгоритъмът задължително ще достигне граница (решение).

3. Цифрова обработка на сигнали

Когато слушате музика в цифров формат или гледате видео, звукът и картината се представят чрез редици от дискретни стойности. Възстановяването на плавния аналогов сигнал от тези „точки“ се основава на математически методи, които използват граници.

4. Анализ на процеса: Приближение

В науката често не можем да изчислим нещо директно (например точната площ на сложна фигура). Тогава създаваме редица от приближения.

Ако редицата е сходяща, знаем, че колкото повече стъпки правим, толкова по-точни ставаме.
Ако можем да докажем, че редицата е ограничена, знаем, че процесът е стабилен и няма да доведе до „експлозия“ на стойностите.

Упражнения

Първа част

Определете монотонността на редицата $a_n = 5 - 2n$ $a_n = n^2 + 5n$
Определете дали редицата $a_n = \frac{1}{n^2}$ е ограничена и намерете нейната граница.
Докажете, че редицата $a_n = 2n - 5$ е растяща.
Докажете, че редицата $a_n = \frac{2n - 1}{n + 1}$ е ограничена.
Определете монотонността на редицата $a_n = \frac{n^2}{2^n}$ .
Докажете, че редицата $a_n = \frac{3^n}{n!}$ е намаляваща за $n \geq 3$ .
Изследвайте монотонността на редицата $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ .
Намерете точната горна граница (супремум) на редицата $a_n = 3 - \frac{1}{n}$ .

Втора част

Пресметнете $\lim_{n \to \infty} (5 + \frac{1}{n^2})$ .
Намерете границата на редицата $a_n = \frac{4n^2 - 2}{n^2 + 10}$ .
Пресметнете границата $\lim_{n \to \infty} \frac{7n + 2}{n + 1}$ .
Определете границата $\lim_{n \to \infty} \frac{10n + 1}{2n + 5}$ .
Докажете, че редицата $a_n = \frac{3n-1}{n}$ е ограничена и монотонна. Използвайте теоремата на Вайерщрас, за да докажете съществуването на граница.
Пресметнете границата $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 5n}}{4n + 3}$ .
Изследвайте за сходимост редицата $a_n = \frac{(1,1)^n}{n}$ . (Подсказка: Расте ли експоненциалната функция по-бързо от линейната?)
Използвайки дефиницията на Коши, намерете от кой номер $N$ нататък членовете на редицата $a_n = \frac{1}{2n}$ са на разстояние по-малко от $0,05$ от границата $0$ .
Докажете по дефиниция, че $\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n} = 2$ .