Продължете към съдържанието

Граница на числова редица

Числовата редица е функция, чиято дефиниционна област е множеството на естествените числа $\mathbb{N}$. Тя представлява безкрайна съвкупност от числа $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$, подредени по точно определено правило. На всяко естествено число $n$ се съпоставя точно едно реално число $a_n$. Числата, които образуват редицата, се наричат членове на редицата. Всеки елемент $a_n$ се нарича общ член на редицата.

$f: \mathbb{N} \to \mathbb{R} ; a_n = f(n) $ (стойност за дадено n)

$(a_n) \quad \text{или} \quad \{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ (означение на цялата редица)

Примери за редици са аритметичната прогресия ($a_n = a_1 + (n-1)d$), геометричната прогресия ($a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$) или редицата от реципрочни числа ($a_n = \frac{1}{n}$).

Монотонност и ограниченост

Преди да изследваме границата на една редица, е важно да разберем нейните вътрешни свойства:

  1. Монотонност. Една числова редица $(a_n)$ се нарича:

    • Нарастваща, ако за всяко $n \in \mathbb{N}$ е изпълнено: $a_{n+1} \geq a_n$

    • Строго нарастваща, ако за всяко $n \in \mathbb{N}$ е изпълнено: $a_{n+1} > a_n$

    • Намаляваща, ако за всяко $n \in \mathbb{N}$ е изпълнено: $a_{n+1} \leq a_n$

    • Строго намаляваща, ако за всяко $n \in \mathbb{N}$ е изпълнено: $a_{n+1} < a_n$

    • Монотонна, ако е нарастваща или намаляваща.

    • За проверка обикновено се изследва знакът на разликата $a_{n+1} – a_n$ или се сравнява частното $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ с единица (при положителни членове).

Редиците, които са растящи или намаляващи, се наричат с общото име монотонни редици.

  1. Ограниченост:

    • Ограничена отгоре: Съществува число $M$, такова че $a_n \leq M$ за всяко $n$.

    • Ограничена отдолу: Съществува число $m$, такова че $a_n \geq m$ за всяко $n$.

    • Ограничена редица: Когато е ограничена едновременно и отгоре, и отдолу ($m \leq a_n \leq M$).

  2. Примери за ограничeност на редици

  • $a_n = \sin n$ е ограничена в: $[-1, 1]$

  • $a_n = n$ е: $\text{неограничена}$

  • $a_n = \frac{1}{n}$ е ограничена в: $[0, 1]$

Понятие за граница на редица

Числото $A$ се нарича граница на редицата $\{a_n\}$, ако при неограничено нарастване на номера $n$, членовете на редицата стават произволно близки до $A$.

С други думи, ако редицата има граница, това е числото, около което се сгъстяват членовете на редицата, когато отиваме все по-напред в нея. Такива редици се наричат ограничени.

Строга дефиниция (по Коши): Числото $A$ е граница на редицата $\{a_n\}$, ако за всяко $\epsilon > 0$ съществува такъв номер $N(\epsilon)$, че за всички $n > N$ е изпълнено:

$$|a_n – A| < \epsilon$$

  • $|a_n – A|$ е разстоянието между члена на редицата и границата.

  • $\epsilon$ е допустимата грешка (радиусът на околността: епсилон околност на точка).

  • $N$ е „прагът“, след който редицата става достатъчно точна.

Ако редицата притежава крайна граница, тя се нарича сходяща.

Записваме го така: $\lim_{n \to \infty} a_n = A$.

В противен случай (тоест не съществува А) тя е разходяща.

Важно е да се отбележи, че всяка сходяща редица е ограничена, но не всяка ограничена редица е сходяща (например $a_n = (-1)^n$ е ограничена, но няма граница). Ограничеността означава просто, че членовете на редицата не „избягват“ към безкрайност – те стоят в някакъв затворен интервал. Това обаче не гарантира, че те ще се приближат към едно конкретно число. Редицата може да „се колебае“ вечно между две или повече стойности.

Теорема на Вайерщрас

Тази теорема е фундаментален мост между свойствата на редицата и съществуването на нейната граница.

Теорема: Всяка монотонна и ограничена редица е сходяща.

  • Ако $a_n$ е растяща и ограничена отгоре, тя има граница.

  • Ако $a_n$ е намаляваща и ограничена отдолу, тя има граница.

Примерен анализ на редица с използване на теоремата

Да разгледаме редицата $a_n = \frac{n}{n+1}$.

  1. Монотонност: Вече знаем как да докажем, че е растяща ($a_{n+1} – a_n > 0$).

  2. Ограниченост: Тъй като числителят е винаги по-малък от знаменателя, $a_n < 1$ за всяко $n$. Редицата е ограничена отгоре от числото $1$.

  3. Заключение по Вайерщрас: Тъй като редицата е растяща и ограничена отгоре, тя задължително има граница. (В случая границата е $1$).

Основни свойства на границите

Ако $\lim_{n \to \infty} a_n = A$ и $\lim_{n \to \infty} b_n = B$, то са в сила следните правила:

  • $\lim (a_n \pm b_n) = A \pm B$

  • $\lim (c \cdot a_n) = c \cdot A$

  • $\lim (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$

  • $\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$ (при $b_n \neq 0$ и $B \neq 0$)

  • Ако $a_{n} \le b_{n}$ за всяко $n$, то $lim a_{n} \le lim b_{n}$.

Теорема за двамата полицаи (Теорема за притиснатата редица)

Ако имаме три редици $\{x_{n}\}, \{a_{n}\}$ и $\{y_{n}\}$, за които е изпълнено:

  1. $x_{n} \le a_{n} \le y_{n}$ за всяко $n$;

  2. $lim x_{n} = lim y_{n} = A$;

    Тогава редицата $\{a_{n}\}$ също е сходяща и нейната граница е $lim a_{n} = A$.

Пример:  За редицата $a_n = \frac{\sin n}{n}$ е изпълнено:

$$-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n}$$

Тъй като двете крайни редици клонят към нула:

$$\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = 0 \quad \text{и} \quad \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n}\right) = 0$$

Следователно: $\frac{\sin n}{n} \to 0$

Примерни задачи

Задача 1: Докажете, че $\frac{1}{n} \to 0$

Трябва да докажем, че за всяко $\epsilon > 0$ съществува число $N$, такова че за всички $n > N$ е изпълнено:

$$\left| \frac{1}{n} – 0 \right| < \epsilon$$

  1. Разглеждаме неравенството:

    $$\frac{1}{n} < \epsilon$$

  2. Тъй като $n$ и $\epsilon$ са положителни, можем да преобразуваме:

    $$n > \frac{1}{\epsilon}$$

  3. Избираме $N = \left[ \frac{1}{\epsilon} \right]$ (цялата част).

  4. Тогава за всяко $n > N$ е изпълнено $\left| \frac{1}{n} – 0 \right| < \epsilon$, с което доказателството е завършено.

Задача 2: Докажете, че $\frac{n}{n+1} \to 1$

Трябва да докажем, че за всяко $\epsilon > 0$ съществува число $N$, такова че за всички $n > N$ е изпълнено:

$$\left| \frac{n}{n+1} – 1 \right| < \epsilon$$

  1. Преобразуваме израза в модула:

    $$\left| \frac{n – (n+1)}{n+1} \right| = \left| \frac{-1}{n+1} \right| = \frac{1}{n+1}$$

  2. Поставяме условието:

    $$\frac{1}{n+1} < \epsilon$$

  3. Решаваме спрямо $n$:

    $$n+1 > \frac{1}{\epsilon} \implies n > \frac{1}{\epsilon} – 1$$

  4. Избираме $N = \left[ \frac{1}{\epsilon} – 1 \right]$.

  5. Тогава за всяко $n > N$ разликата между общия член и единицата е по-малка от $\epsilon$, което означава, че границата е 1.

Задача 3: Пресметнете $\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 5}{2n – 1}$. *(виж по-долу)

Разделяме числителя и знаменателя на $n$:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{n}}{2 – \frac{1}{n}} = \frac{3 + 0}{2 – 0} = 1,5$$

Задача 4: Анализ на редицата $a_n = 1 + (-1)^n$.

Редицата приема стойности $\{0, 2, 0, 2, \dots\}$. Тя е ограничена ($0 \leq a_n \leq 2$), но не е монотонна и няма граница, защото стойностите ѝ не се приближават към едно конкретно число.

Задача 5: Дадена е редица, описваща пазарен дял $P_n = 0,4 – \frac{1}{n+2}$. Ограничена ли е тя отгоре и от кое число?

Редицата е зададена с формулата $P_n = 0,4 – \frac{1}{n+2}$.

Тук имаме константа ($0,4$), от която изваждаме дробта $\frac{1}{n+2}$.

2. Изследване на дробта $\frac{1}{n+2}$

Тъй като $n$ е естествено число ($n = 1, 2, 3, \dots$):

  • Знаменателят $n+2$ е винаги положително число и става все по-голям с нарастването на $n$.

  • Самата дроб $\frac{1}{n+2}$ винаги е положителна стойност.

  • С нарастването на $n$, дробта става все по-малка и се приближава към $0$.

3. Определяне на ограничеността отгоре

Тъй като от числото $0,4$ винаги изваждаме някаква положителна стойност (макар и много малка), крайният резултат винаги ще бъде по-малък от $0,4$.

Математически можем да го запишем така:

За всяко $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{1}{n+2} > 0$$

Ако умножим по $-1$, посоката на неравенството се сменя:

$$- \frac{1}{n+2} < 0$$

Сега добавяме $0,4$ към двете страни:

$$0,4 – \frac{1}{n+2} < 0,4 + 0$$
$$P_n < 0,4$$

Редицата е ограничена отгоре и нейното ограничително число (горна граница) е $0,4$.

*Това са най-често срещаните граници, които показват как се държат редиците, когато $n$ расте неограничено:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0 \quad (\text{при } k > 0)$$
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \quad (\text{при } a > 0)$$
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$$

Поведението на редицата $a_n = q^n$ зависи изцяло от стойността на частното $q$:

  • Ако $|q| < 1$, то:

    $$\lim_{n \to \infty} q^n = 0$$

  • Ако $q = 1$, то:

    $$\lim_{n \to \infty} 1^n = 1$$

  • Ако $q > 1$, редицата е неограничена ($q^n \to \infty$).

Много полезно е да знаеш коя редица „бие“ другата, когато и двете клонят към безкрайност. Подредени от най-бавно растящата към най-бързо растящата:

$$\log_a n \ll n^k \ll a^n \ll n! \ll n^n$$

Това означава например, че:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n} = 0 \quad \text{и} \quad \lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$$

На практика

Границата на една редица ни позволява да боравим с безкрайността по контролиран начин. Ето къде това намира пряко приложение:

1. Финансови изчисления и лихви

Един от най-известните примери е дефинирането на числото $e$ (Неперовото число). То възниква при разглеждането на сложна лихва, която се начислява все по-често (всеки ден, час, секунда).

Ако вложите 1 лв. при 100% лихва, която се капитализира $n$ пъти в годината, сумата след една година ще бъде:

$$a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$

Границата на тази редица при $n \to \infty$ е точно числото $e \approx 2,718$. Това е фундаментално за банковото дело и изчисляването на непрекъснат растеж.

2. Компютърни алгоритми и изкуствен интелект

Когато един програмист пише алгоритъм за оптимизация (например в машинното обучение), той създава редица от стъпки. Всяка следваща стъпка трябва да приближава компютъра все по-близо до най-доброто решение (минимума на грешката).

  • Сходимостта на този алгоритъм гарантира, че той ще даде верен отговор, вместо да работи вечно или да дава случайни резултати.

  • Теоремата на Вайерщрас се използва тук, за да се докаже, че ако грешката постоянно намалява и е ограничена отдолу (от нула), то алгоритъмът задължително ще достигне граница (решение).

3. Цифрова обработка на сигнали

Когато слушате музика в цифров формат или гледате видео, звукът и картината се представят чрез редици от дискретни стойности. Възстановяването на плавния аналогов сигнал от тези „точки“ се основава на математически методи, които използват граници.

4. Анализ на процеса: приближение

В науката често не можем да изчислим нещо директно (например точната площ на сложна фигура). Тогава създаваме редица от приближения.

  • Ако редицата е сходяща, знаем, че колкото повече стъпки правим, толкова по-точни ставаме.

  • Ако можем да докажем, че редицата е ограничена, знаем, че процесът е стабилен и няма да доведе до „експлозия“ на стойностите.

Упражнения

Първа част

  1. Определете монотонността на редицата $a_n = 5 – 2n$  ;  $a_n = n^2 + 5n$

  2. Определете дали редицата $a_n = \frac{1}{n^2}$ е ограничена и намерете нейната граница.

  3. Докажете, че редицата $a_n = 2n – 5$ е растяща.

  4. Докажете, че редицата $a_n = \frac{2n – 1}{n + 1}$ е ограничена.

  5. Определете монотонността на редицата $a_n = \frac{n^2}{2^n}$.

  6. Докажете, че редицата $a_n = \frac{3^n}{n!}$ е намаляваща за $n \geq 3$.

  7. Изследвайте монотонността на редицата $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$.

  8. Намерете точната горна граница (супремум) на редицата $a_n = 3 – \frac{1}{n}$.

Втора част

  1. Пресметнете $\lim_{n \to \infty} (5 + \frac{1}{n^2})$.
  2. Намерете границата на редицата $a_n = \frac{4n^2 – 2}{n^2 + 10}$.
  3. Пресметнете границата $\lim_{n \to \infty} \frac{7n + 2}{n + 1}$.
  4. Определете границата $\lim_{n \to \infty} \frac{10n + 1}{2n + 5}$.
  5. Докажете, че редицата $a_n = \frac{3n-1}{n}$ е ограничена и монотонна. Използвайте теоремата на Вайерщрас, за да докажете съществуването на граница.
  6. Пресметнете границата $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 5n}}{4n + 3}$.
  7. Изследвайте за сходимост редицата $a_n = \frac{(1,1)^n}{n}$. (Подсказка: Расте ли експоненциалната функция по-бързо от линейната?)
  8. Използвайки дефиницията на Коши, намерете от кой номер $N$ нататък членовете на редицата $a_n = \frac{1}{2n}$ са на разстояние по-малко от $0,05$ от границата $0$.
  9. Докажете по дефиниция, че $\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n} = 2$.

© София-Мат ЕООД

 

 

 

 

 

Facebook
X (Twitter)
Copy link
URL has been copied successfully!