Продължете към съдържанието

Вероятности

    „Шансовете едно на милион се случват в девет от десет случая.“ Сър Тери Пратчет

    Темата за вероятности е естествено продължение на комбинаториката. Тя превръща броенето на възможности в конкретни прогнози за това колко е „шансът“ нещо да се случи.

    Ето най-важното:

    1. Комбинаторика (Основата)

    За да пресметнем вероятност, първо трябва да знаем как да броим съединенията.

    • Пермутации ($P_n = n!$): Подреждане на всички налични елементи. (Напр. по колко начина 5 човека застават в редица).

    $$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot … \cdot n$$

    • Вариации ($V_k^n$): Избираме $k$ елемента от общо $n$ и редът има значение. (Напр. избор на капитан и заместник-капитан).

    $$V_k^n = n \cdot (n-1) \cdot … \cdot (n-k+1)$$

    • Комбинации ($C_k^n$): Избираме $k$ елемента от общо $n$, но редът няма значение. (Напр. избор на 2-ма делегати от клас).

    $$C_k^n = \frac{V_k^n}{P_k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

    2. Класическа вероятност

    Вероятността на едно събитие $A$, отбелязвана с $P(A)$, е отношението на благоприятните изходи към всички възможни изходи.

    $$P(A) = \frac{m}{n}$$

    • $m$: брой благоприятни изходи (тези, които искаме да се случат).

    • $n$: брой на всички възможни изходи (всичко, което може да се случи).

    Важно: Вероятността винаги е число между 0 и 1 (или 0% и 100%).

    • $P = 0$ — невъзможно събитие.

    • $P = 1$ — сигурно събитие.

    3. Вероятност на сложно събитие

    Когато събитието е съставено от няколко по-прости, използваме логическите връзки „ИЛИ“ и „И“.

    А) Сума на събития (Връзка „ИЛИ“)

    Ако две събития $A$ и $B$ са несъвместими (не могат да се случат едновременно), вероятността да се случи поне едното е:

    $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

    Пример: Вероятността да се падне 1 или 6 при хвърляне на зар.

    Б) Произведение на събития (Връзка „И“)

    Ако две събития са независими (едното не влияе на другото), вероятността да се случат и двете е:

    $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

    Пример: Вероятността да се падне „ези“ при първото хвърляне и „ези“ при второто хвърляне на монета.

    В) Вероятност на противоположно събитие ($\bar{A}$)

    Ако знаеш вероятността нещо да се случи, вероятността то да не се случи е:

    $$P(\bar{A}) = 1 – P(A)$$

    „Вероятността нещо да се случи е обратнопропорционална на желанието ни то да се случи.“ Мърфи

    Основни задачи:

    № Условие на задачата Въпрос за повишаване на трудността
    1 По колко начина 6 души могат да се подредят в редица за кино? А ако двама от тях задължително искат да са един до друг?
    2 Колко различни шестцифрени числа могат да се съставят от цифрите 1, 2, 3, 4, 5, 6 без повторение? Колко от тези числа са четни?
    3 В клас от 25 ученици се избират отговорник и заместник. По колко начина може да стане това? Каква е вероятността и двамата избрани да са момчета, ако в класа има 15 момчета?
    4 Колко трицифрени числа с различни цифри могат да се съставят от цифрите 1, 2, 3, 4, 5, 6? Колко от тях се делят на 5?
    5 По колко начина могат да се изберат 3-ма представители от група от 10 души? По колко начина може да стане това, ако един конкретен човек задължително трябва да бъде избран?
    6 Колко различни прави могат да се прекарат през 8 точки, никои три от които не лежат на една права? Колко триъгълника могат да се образуват с върхове в тези точки?
    7 Каква е вероятността при хвърляне на стандартен зар да се падне просто число? Ако хвърлим два зара, каква е вероятността сборът им да е просто число?
    8 В кутия има 5 бели и 7 черни топки. Каква е вероятността произволно изтеглена топка да е бяла? Ако изтеглим две топки едновременно, каква е вероятността те да са в различен цвят?
    9 Изтегля се една карта от тесте (52 карти). Каква е вероятността тя да е Асо? Каква е вероятността картата да е Асо или Поп от цвят пика?
    10 Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне число, по-малко от 3 или по-голямо от 5? Каква е вероятността да се падне число, което не е 4?
    11 Хвърляме монета два пъти. Каква е вероятността да се паднат две „ези“? Ако хвърлим монетата три пъти, каква е вероятността да се падне „ези“ точно два пъти?
    12 На десет карти са написани числата от 1 до 10. Каква е вероятността избрана карта да е четно число? Каква е вероятността числото на картата да се дели и на 2, и на 3?
    13 Колко са четните четирицифрени числа с различни цифри, съставени от 1, 2, 3, 4? Каква е вероятността произволно съставено число от тези цифри да започва на 1?
    14 В урна има 4 бели и 6 сини топки. Теглят се 2 топки едновременно. Намерете броя на всички изходи. Колко ще са изходите, ако теглим 3 топки една след друга с връщане?
    15 От урна с 4 бели и 6 сини топки се теглят 2. Каква е вероятността и двете да са бели? Каква е вероятността поне една от изтеглените топки да е бяла?
    16 От урна с 4 бели и 6 сини топки се теглят 2. Каква е вероятността и двете да са сини? Каква е вероятността втората топка да е синя, ако първата вече е изтеглена и е била бяла?
    17 От урна с 4 бели и 6 сини топки се теглят 2. Каква е вероятността да са от различен цвят? Ако добавим 2 червени топки, каква е вероятността при теглене на 3 топки те да са от три различни цвята?
    18 Отбор се състои от 5 момчета и 3 момичета. Избира се делегация от 3-ма души. По колко начина? По колко начина може да се избере делегацията, ако в нея трябва да има поне две момичета?
    19 Каква е вероятността в делегацията от задача 18 да има само момичета? Каква е вероятността в делегацията да няма нито едно момиче?
    20 В състезание участват 8 бегачи. По колко начина могат да се разпределят златен, сребърен и бронзов медал? А ако знаем, че бегачът А със сигурност ще спечели някакъв медал?
    21 В тесте от 52 карти се теглят 3. Каква е вероятността и трите да са от цвят „пика“? Каква е вероятността и трите карти да са от един и същи цвят (боя), без значение кой?
    22 Награда от 180 евро се разпределя между двама победители според вероятността им за победа, която е в съотношение 2 към 9. Как се променят сумите, ако се добавят 20 евро към общия фонд, но съотношението остане същото? (Отговорите трябва да са 32 8/11 и 147 3/11).
    23 Каква е вероятността при хвърляне на два зара да не се падне нито една „шестица“? Каква е вероятността сборът от точките на двата зара да е четно число?
    24 В кутия има 10 продукта, 2 от които са дефектни. Теглят се 3. Колко са благоприятните изходи да има поне 1 дефектен? Каква е вероятността точно два от изтеглените продукти да са дефектни?
    25 При хвърляне на два зара, каква е вероятността сборът от точките да е точно 7? Каква е вероятността сборът да е по-голям от 9?
    26 Каква е вероятността при хвърляне на два зара сборът от точките да е по-малък от 4? Каква е вероятността произведението от точките на двата зара да е 12?
    27 Колко думи могат да се получат чрез разместване на буквите в думата МАТЕМАТИКА? Колко от тези подредби започват и завършват на буквата А?
    28 В клас от 15 момчета и 10 момичета се избират 2-ма ученици. Каква е вероятността да са момче и момиче? Каква е вероятността двамата избрани да са от един и същи пол?
    29 Хвърляме монета 3 пъти. Каква е вероятността да се падне „ези“ поне веднъж? Каква е вероятността да се падне „тура“ точно два пъти в определен ред (напр. първите две хвърляния)?
    30 Колко диагонала има в правилен осмоъгълник? Колко е броят на диагоналите в правилен n-ъгълник?

    Задачи по-така:

    1. Телефонът ти има 4-цифрен код (цифри от 0 до 9). Колко опита ти трябват, за да си сигурен, че ще го отключиш, ако помниш само, че в него няма повторения на цифри?

    2. 7 приятели се нареждат на опашка за сладолед. По колко начина могат да застанат, ако двамата най-добри приятели искат да са винаги един до друг?

    3. В шахматен турнир участват 12 играчи. Всеки играе срещу всеки по една партия. Колко партии ще се изиграят общо?

    4. Хвърляш два стандартни зара. Каква е вероятността сборът от точките им да е точно 8?

    5. Колко различни подредби на букви могат да се съставят от буквите в думата КАСКА?

    6. Имаш 8 различни добавки за пица. Искаш да избереш точно 3 от тях. Колко различни вида пици можеш да си поръчаш?

    7. В тъмна стая имаш 5 чифта черни и 5 чифта сини чорапи. Колко отделни чорапа трябва да извадиш на сляпо, за да си сигурен, че ще имаш поне един чифт от един и същи цвят?

    8. 5 момичета и 3 момчета се снимат в редица. По колко начина могат да застанат, ако трите момчета трябва да са в средата едно до друго?

    9. „Лотарията е данък върху хората, които не разбират от математика.“ Колко са възможните комбинации в лотария, в която се теглят 5 числа от общо 35?

    10. Имаш 4 книги по математика и 3 по история. По колко начина можеш да ги подредиш на рафта, така че книгите от един предмет да са винаги заедно?

    11. Теглиш една карта от стандартно тесте (52 карти). Каква е вероятността тя да е или Дама, или Каро?

    12. В кутия има 4 бели, 5 червени и 6 зелени топчета. Изваждаш едно на случаен принцип. Каква е вероятността то да НЕ е зелено?

    13. В състезание участват 10 души. По колко начина могат да се разпределят златният, сребърният и бронзовият медал?

    14. На среща на випуска присъстват 15 души. Ако всеки се прегърне с всеки точно по веднъж, колко прегръдки ще има общо?

    15. Хвърляш две монети едновременно. Каква е вероятността да се падне поне едно „ези“?

    16. Един зар е направен така, че вероятността да се падне 6 е два пъти по-голяма от вероятността за всяко от останалите числа. Каква е вероятността при хвърляне да се падне 6?

    17. От вкъщи до центъра има 3 пътя, а от центъра до училище – 4 различни пътя. По колко различни маршрута можеш да отидеш от вкъщи до училище, минавайки през центъра?

    18. В клас има 5 момчета и 3 момичета. Избира се екип от 3-ма души. По колко начина може да се състави екипът, ако в него трябва да има поне едно момиче?

    19. Вероятността стрелец да уцели мишена е 0,7. Той стреля два пъти. Каква е вероятността да уцели и двата пъти?

    20. 8 атлети участват във финално бягане. По колко начина могат да се разпределят местата на почетната стълбичка (1-во, 2-ро и 3-то място)?

    21. 4 души влизат в асансьор на сграда със 7 етажа. По колко начина могат да слязат на различни етажи?

    22. Награда от 180 евро се разпределя между двама победители в отношение 2 към 9. Какви суми ще получат те?

    23. Колко различни „думи“ могат да се получат чрез разместване на всички букви в думата МАТЕМАТИКА?

    24. Вероятността на един светофар да свети зелено е 0,4. Минаваш последователно през три такива независими светофара. Каква е вероятността и на трите да свети зелено?

    25. Хвърляш три зара едновременно. Каква е вероятността сборът от точките им да бъде точно 4?

    26. От група от 10 души трябва да се изберат председател и 3-ма негови помощници. По колко начина може да се направи този избор?

    27. Колко трицифрени числа с различни цифри са четни?

    28. В кошница има 3 ябълки, 2 круши и 1 банан. По колко начина можеш да ги подредиш в редица на витрината?

    29. 10 души сядат около кръгла маса за преговори. По колко различни начина могат да се разпределят по местата си?

    30. По колко начина 4 различни подаръка могат да се разпределят между 4 деца, така че всяко дете да получи точно по един подарък?

    По-по-така задачи:

    1. Вероятност при зарове: Хвърляш два зара. Каква е вероятността произведението на точките им да е четно число?

    2. Равноправие: От група от 7 мъже и 5 жени трябва да се избере комисия от 3-ма души, в която да има поне една жена. По колко начина става това?

    3. Диагонали: Колко диагонала има в правилен дванадесетоъгълник?

    4. Популярните: Отбор се състои от 5 момчета и 3 момичета. Трябва да се избере делегация от 3-ма души. По колко начина може да се направи това, ако в нея трябва да има поне две момичета?

    5. Олимпиади: В състезание участват 8 бегачи. По колко различни начина могат да се разпределят златен, сребърен и бронзов медал?

    6. Шахматен турнир: В турнир всеки е изиграл по една партия с всеки друг. Общо са изиграни 66 партии. Колко са участниците?

    7. Кръглата маса: По колко начина 7 души могат да седнат около кръгла маса, ако двама от тях категорично отказват да седнат един до друг?

    8. Повторения в думи: Колко различни „думи“ могат да се образуват от буквите в думата „АБРАКАДАБРА“?

      • Формула: Пермутации с повторение: $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots}$

    9. Принцип на Дирихле: В кутия има 15 червени, 10 сини и 8 зелени топки. Колко най-малко топки трябва да извадиш, за да си сигурен, че имаш поне 3 топки от един и същи цвят?

      • Жокер: Помисли за най-лошия сценарий — вадиш по 2 от всеки цвят.

    10. Разпределяне на ябълки: По колко начина можеш да разпределиш 12 еднакви ябълки между 4 деца, така че всяко дете да получи поне по една ябълка?

      • Метод: „Звезди и черти“ (Stars and Bars): $\binom{n-1}{k-1}$.

    11. Пътеки в мрежа: Имаш координатна мрежа от точка (0,0) до точка (5,5). Колко са най-кратките пътища, ако се движиш само надясно и нагоре?

      • Жокер: Това е комбинация от 10 стъпки, от които избираш 5 да са „нагоре“: $\binom{10}{5}$.

    12. Деранжименти (Писма): 4 писма трябва да се вкарат в 4 плика. По колко начина нито едно писмо няма да попадне в своя плик?

    13. Геометрия и комбинаторика: Дадени са 10 точки в равнината, като никои три не лежат на една права. Колко триъгълника с върхове в тези точки могат да се начертаят?

      • Формула: Комбинации $\binom{n}{3}$.

    14. Делители: Колко на брой са естествените делители на числото $720$ (включително 1 и самото число)?

    15. Включване-Изключване: Колко са числата от 1 до 100, които не се делят нито на 2, нито на 3, нито на 5?

    16. Редуване: 4 момчета и 4 момичета трябва да се подредят в редица така, че да няма две момчета едно до друго. По колко начина може да стане това?

    17. Вероятност в тесте: От тесте с 52 карти се теглят 3 карти едновременно. Каква е вероятността и трите да са от един и същи цвят (боя)?

    18. Сума от цифри: Колко са трицифрените числа, чийто сбор от цифрите е точно 5?

    19. Растящи цифри: Колко са петцифрените числа, чиито цифри са в строго растящ ред (например 12458)?











    Facebook
    X (Twitter)
    Copy link
    URL has been copied successfully!