Олимпийска подготовка за шести клас

Първи сет задачи (аритметика и степени)

Задача 1. пресметнете изразите със степени

Намерете числените стойности на $A$ и $B$, и решете уравнението за $x$.

• $A = 3 \cdot (-\frac{1}{2 \cdot 4} – \frac{1}{4 \cdot 6} – \frac{1}{6 \cdot 8} – \cdot\cdot\cdot – \frac{1}{18 \cdot 20} – \frac{1}{20 \cdot 22}) + 1$

• $B = \frac{4^7 \cdot (-9)^3 \cdot (-2)^4 \cdot 2}{(-3)^8 \cdot (-16)^4} : \frac{25 \cdot 2^{n-3}}{-2^n + 4 \cdot 2^n – 2 \cdot 2^n}$

• $x : ((4,5 – (-0,5)) \cdot 12,5) = ((-(-3\frac{1}{4} + 2\frac{1}{20})) : (-0,85)) : (-1\frac{2}{3})$

Задача 2. най-голяма стойност на израз

Намерете най-голямата стойност на израза

и определете за коя стойност на $x$ се достига тя, където $A$ и $B$ са стойностите, намерени в Задача 1. (Обосновете отговора си).

Задача 3. задачи с гориво и проценти

Камион всеки ден превозва стока.

• а) Вчера тръгнал натоварен със стока и изминал 90 км, като изразходвал 15% от горивото, с което тръгнал. Ако изразходва по 24 литра на 100 км, то с колко литра е тръгнал?

• б) Днес, след като разтоварил стоката, тръгнал да се прибира. До първата почивка той изразходвал $25\%$ от горивото, с което тръгнал днес, а до втората почивка $\frac{1}{10}$ от останалото гориво и още 12 литра. В този момент шофьорът забелязал, че му е останало $\frac{1}{2}$ от горивото, с което е тръгнал днес. С колко литра гориво е тръгнал днес?

Втори сет задачи (координатна система и геометрия)

Задача 1. рационални числа и цели числа

Даден е изразът

• а) Намерете всички рационални числа $x$, за които $3+2 \cdot |x|$ и $y$ са цели числа.

• б) За всяко от намерените $x$ определете съответната стойност на $y$ и образувайте съответните двойки числа $(x; y)$.

Задача 2. симетрия и лице в координатна система

В правоъгълна координатна система $Oxy$ с единична отсечка 2 см са дадени точките $A(0; 6)$, $B(\frac{1}{2}; 5)$, $D(3; 3)$, $F(6\frac{1}{2}; 2)$ и точките $C$, $E$ и $G$ съответно симетрични на $B$, $D$ и $F$ относно ординатната ос ($Oy$).

• а) Постройте многоъгълника $OFDBACEG$ .

• б) Намерете колко квадратни сантиметра е лицето му.

Задача 3. петоъгълник от триъгълник и квадрат

Петоъгълникът $MNPBC$ е съставен от правоъгълен $\triangle ABC$ с катети $AC = 5$ см, $AB = 12$ см (Питагорова теорема!) и квадрат $MNPA$ със страна 4 см. (C, A и M лежат на една права).

• а) Ако $Q \in CB$ и $CQ = \frac{1}{3}CB$, намерете $S_{\triangle PBQ}$ и $S_{\triangle MPQ}$.

• б) Намерете периметъра на петоъгълника $MNPBC$.

Трети сет задачи (геометрия на четириъгълник и лица)

Задача 1. израз с дроби

Да се намери стойността на израза $K$:

Задача 2. четириъгълник и лица

Даден е изпъкнал четириъгълник $ABCD$, в който точките $M$ и $N$ са съответно среди на срещуположните страни $AB$ и $CD$. Диагоналът $AC$ пресича отсечката $MN$ в точка $P$ така, че $PM = PN$.

• а) Докажете, че лицата на триъгълниците $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ са равни.

• б) Вярно ли е, че $S_{\triangle AND} + S_{\triangle BMC} = S_{ABCD}$? Обосновете отговора си.

Задача 3. продължение на геометрията

При условията от Задача 2: Върху правата $MN$ са построени точките $K$ и $L$, такива, че точката $M$ е среда на отсечката $PK$, а точката $N$ е среда на отсечката $PL$.

• а) Намерете каква част от лицето на многоъгълника $AKBCLD$ е лицето на дадения четириъгълник $ABCD$.

• б) Вярно ли е, че $S_{\triangle DCL} + S_{\triangle ABK} = S_{ABCD}$? Обосновете отговора си.

Четвърти сет задачи (аритметика и степени)

Задача 1. изрази и уравнение

Нека числата $A$, $B$ и $C$ са такива, че:

• $A = 3^2 – 1^2 – 2^2$

• $B = \frac{(-2)^{10} \cdot 5^{10}}{(-10)^9} – \frac{3^5 \cdot 4^5}{6^{10}}$

• $C$ е числото, за което е вярно равенството $2 – (\frac{1}{4} – (\frac{1}{2} – C) + \frac{3}{4}) + \frac{1}{2} = 1$.

• а) Намерете числото $B$.

• б) Намерете числото $C$.

• в) Намерете числото $A$.

• г) Вярно ли е равенството $A \cdot B = 10 \cdot C$?

Задача 2. сборове на цели числа

• а) Намерете сбора на всички цели числа, по-големи от $-20$ и не по-големи от $-10$.

• б) Намерете неизвестното число $x$ от равенството:
  $$4\frac{1}{4} \cdot (3 – 1,5) + x = 2,5 \cdot (1\frac{1}{5} + 3) – 1$$

Задача 3. израз с модул

Намерете най-малката стойност на израза: