Тригонометрични функции на остър ъгъл

I. Пресмятане на числови изрази

Използвай табличните стойности за $30^\circ, 45^\circ$ и $60^\circ$.

1. Пресметнете: $A = \sin 30^\circ + \cos 60^\circ$

2. Пресметнете: $B = \text{tg } 45^\circ – \sin^2 60^\circ$

3. Пресметнете: $C = 2 \cos 30^\circ \cdot \text{tg } 60^\circ$

4. Пресметнете: $D = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} + \text{cotg } 45^\circ$

5. Пресметнете: $E = \cos^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ$ (Забележи връзката с основното тъждество!)

II. Правоъгълен триъгълник

В задачите $a, b$ са катети, $c$ е хипотенуза, а $\alpha$ е ъгълът срещу катета $a$.

6. Ако $c = 10$ см и $\alpha = 30^\circ$, намерете катета $a$.

7. Ако $a = 5$ см и $b = 5$ см, намерете ъгъл $\alpha$.

8. В правоъгълен триъгълник катетът $a = 6$ см, а $\text{tg } \alpha = \frac{3}{4}$. Намерете катета $b$.

9. Намерете хипотенузата $c$, ако $b = 4\sqrt{3}$ см и $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

10. Даден е правоъгълен триъгълник с катети $3$ см и $4$ см. Намерете $\sin \alpha$ за по-малкия остър ъгъл.

III. Допълващи се ъгли ($90^\circ – \alpha$)

Използвай свойствата $\sin \alpha = \cos(90^\circ – \alpha)$ и $\text{tg } \alpha = \text{cotg}(90^\circ – \alpha)$.

11. Ако $\sin 20^\circ \approx 0,342$, на колко е равен $\cos 70^\circ$?

12. Пресметнете без таблица: $\text{tg } 10^\circ \cdot \text{tg } 80^\circ$

13. Опростете израза: $\sin 25^\circ – \cos 65^\circ$

14. Ако $\text{cotg } 55^\circ = k$, изразете $\text{tg } 35^\circ$ чрез $k$.

15. Докажете, че $\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ = 1$.

IV. Основни зависимости

Използвай $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

16. Даден е $\sin \alpha = 0,6$. Намерете $\cos \alpha$ (при $\alpha < 90^\circ$).

17. Даден е $\cos \alpha = \frac{5}{13}$. Намерете $\text{tg } \alpha$.

18. Ако $\text{tg } \alpha = 2$, намерете $\text{cotg } \alpha$.

19. Докажете, че изразът $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 – 2\sin \alpha \cos \alpha$ винаги е равен на $1$.

20. Намерете стойността на $\text{tg } \alpha$, ако $\sin \alpha = \cos \alpha$.

Съвет: При задачите от група IV винаги си представяй (или начертай) малък правоъгълен триъгълник. Например, ако $\sin \alpha = 0,6$ (което е $\frac{3}{5}$), приеми, че срещулежащият катет е $3$, а хипотенузата е $5$. С Питагорова теорема веднага ще намериш, че другият катет е $4$, откъдето $\cos \alpha = \frac{4}{5}$.

Б. Средни задачи

1. Равнобедрен триъгълник

Припомняне: Височината към основата в равнобедрен триъгълник е и медиана, и ъглополовяща. Тя разделя фигурата на два еднакви правоъгълни триъгълника.

21. Основата на равнобедрен триъгълник е $12$ см, а ъгълът при основата е $30^\circ$. Намерете височината към основата и бедрото.

22. Бедрото на равнобедрен триъгълник е $10$ см, а ъгълът между бедрата е $120^\circ$. Намерете основата.

23. В равнобедрен триъгълник основата е $16$ см, а височината към нея е $6$ см. Намерете $\sin, \cos$ и $\text{tg}$ на ъгъла при основата.

24. Даден е равнобедрен триъгълник с бедро $8$ см и височина към основата $4\sqrt{3}$ см. Намерете ъглите на триъгълника.

25. Основата на равнобедрен триъгълник е $a$, а ъгълът при основата е $\alpha$. Изразете бедрото чрез $a$ и $\alpha$.

26. Намерете периметъра на равнобедрен триъгълник с основа $10$ см, ако косинусът на ъгъла при основата е $0,8$.

27. В равнобедрен триъгълник ъгълът при върха е $60^\circ$, а бедрото е $L$. Намерете основата (Използвай тригонометрия, за да докажеш, че е равностранен).

28. Височината към основата е $h$, а ъгълът при върха е $2\alpha$. Изразете основата чрез $h$ и $\alpha$.

29. Бедрото е $b$, а ъгълът при основата е $\alpha$. Изразете лицето на триъгълника.

30. Намерете $\text{tg}$ на ъгъла при основата, ако основата е $10$ см, а бедрото е $13$ см.

2. Трапец

Ключ: Спускането на двете височини от малката към голямата основа често създава правоъгълни триъгълници и правоъгълник.

31. В равнобедрен трапец основите са $10$ см и $6$ см, а ъгълът при голямата основа е $45^\circ$. Намерете височината и лицето.

32. Равнобедрен трапец има основи $12$ см и $4$ см и ъгъл $60^\circ$. Намерете бедрото и периметъра.

33. Правоъгълен трапец има основи $8$ см и $5$ см и височина $4$ см. Намерете острия му ъгъл.

34. Намерете основите на равнобедрен трапец, ако бедрото е $10$ см, ъгълът при основата е $30^\circ$, а височината е равна на малката основа.

35. В равнобедрен трапец диагоналът е $10$ см и сключва с основата ъгъл $30^\circ$. Намерете височината на трапеца.

3. Ромб и Паралелограм

36. Ромб има страна $8$ см и остър ъгъл $60^\circ$. Намерете диагоналите му.

37. Диагоналите на ромб са $12$ см и $16$ см. Намерете синуса на ъгъла между страната и по-големия диагонал.

38. Лицето на ромб е $18\sqrt{2}$ см², а неговият ъгъл е $45^\circ$. Намерете страната на ромба.

39. Паралелограм има страни $6$ см и $10$ см и ъгъл между тях $30^\circ$. Намерете лицето му.

40. В паралелограм височините са $4$ см и $5$ см, а ъгълът между страните е $60^\circ$. Намерете страните му.

4. Окръжност и правоъгълник

41. Хорда $AB$ в окръжност с радиус $R = 10$ см се вижда от центъра под ъгъл $120^\circ$. Намерете дължината на хордата.

42. Правоъгълник има страна $5$ см и диагонал $13$ см. Намерете тангенса на ъгъла между диагонала и по-голямата страна.

43. В окръжност е вписан триъгълник със страна $10$ см, която се вижда от центъра под ъгъл $60^\circ$. Намерете разстоянието от центъра до тази страна.

44. Намерете ъгъла, който диагоналът на квадрат сключва със страната му (чрез $\text{tg}$).

45. Точка от окръжност е свързана с краищата на диаметър $AB = 20$ см. Ако единият остър ъгъл в получения триъгълник е $30^\circ$, намерете катетите му.

5. Тригонометрични преобразувания

46. Пресметнете стойността на израза: $\frac{\sin 25^\circ + \cos 65^\circ}{\sin 25^\circ}$.

47. Докажете, че $\sin^2 \alpha \cdot (1 + \text{cotg}^2 \alpha) = 1$ за всеки остър ъгъл $\alpha$.

48. Намерете стойността на произведението: $\text{tg } 1^\circ \cdot \text{tg } 2^\circ \cdot \dots \cdot \text{tg } 89^\circ$.

49. Ако $\text{tg } \alpha = \frac{3}{4}$, намерете $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$.

50. Пресметнете $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$, ако е известно, че $\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{1,2}$.

Добре дошъл в „майсторския клас“! Тези задачи изискват не само познаване на формулите, но и способност да виждаш скрити зависимости, да правиш сложни допълнителни построения и да използваш алгебрични умения върху тригонометрични изрази

1. Алгебрични и тригонометрични тъждества

51. Ако $\text{tg } \alpha = 2$, пресметнете стойността на израза: $A = \frac{3\sin \alpha – 4\cos \alpha}{2\sin \alpha + \cos \alpha}$. (Подсказка: Раздели числителя и знаменателя на $\cos \alpha$).

52. Докажете, че изразът $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha + 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ е константа, независима от $\alpha$.

53. Ако $\sin \alpha + \cos \alpha = m$, изразете $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ и $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$ чрез $m$.

54. Даден е правоъгълен триъгълник, за който е изпълнено $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = \frac{5}{8}$. Намерете стойността на $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

55. Решете уравнението $\sin \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha$ за остър ъгъл $\alpha$.

2. Сложни конфигурации в триъгълник

56. В правоъгълен триъгълник височината към хипотенузата $h_c$ и медианата към хипотенузата $m_c$ сключват ъгъл $\varphi$. Докажете, че $\cos \varphi = \frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}$ (което се опростява до $\sin 2\alpha$).

57. В правоъгълен триъгълник е вписан квадрат, чиято страна лежи на хипотенузата. Изразете страната на квадрата чрез хипотенузата $c$ и ъгъл $\alpha$.

58. Намерете ъглите на правоъгълен триъгълник, ако лицето му е $S = \frac{c^2}{4}$, където $c$ е хипотенузата.

59. В равнобедрен триъгълник с ъгъл $\alpha$ при основата, намерете отношението на радиуса на вписаната окръжност $r$ към радиуса на описаната окръжност $R$.

60. Задача на Архимед (модифицирана): В правоъгълен триъгълник с ъгъл $\alpha = 30^\circ$, ъглополовящата на другия остър ъгъл дели срещулежащия катет на части $x$ и $y$. Намерете $x:y$.

3. Трапец и четириъгълник)

61. В равнобедрен трапец диагоналите са перпендикулярни. Докажете, че височината е равна на средната отсечка и изразете лицето чрез височината $h$ и ъгъла между диагонала и основата.

62. Даден е трапец с основи $a$ и $b$ ($a > b$) и ъгли при голямата основа $\alpha$ и $\beta$. Изразете височината $h$ чрез $a, b, \text{tg } \alpha$ и $\text{tg } \beta$.

63. Намерете лицето на произволен четириъгълник с диагонали $d_1, d_2$ и ъгъл между тях $\varphi$. (Формула: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin \varphi$).

64. В ромб с остър ъгъл $\alpha$ е вписана окръжност с радиус $r$. Намерете страната на ромба.

4. Геометрично пресмятане на специфични стойности

Цел: Извеждане на нови стойности чрез логика.

65. Използвайте правоъгълен триъгълник с ъгли $30^\circ$ и $60^\circ$ и чрез подходящо построение (удължаване на катет) намерете $\text{tg } 15^\circ$ и $\text{tg } 75^\circ$.

66. Докажете, че в произволен триъгълник със страни $a, b, c$ и ъгъл $\gamma = 60^\circ$ е изпълнено $c^2 = a^2 + b^2 – ab$ (Косинусова теорема за частен случай).

5. „Звездна“ логика

67. Точка $M$ във вътрешността на равностранен триъгълник е на разстояния $3, 4$ и $5$ единици от върховете му. Намерете страната на триъгълника (изисква съчетаване на тригонометрия и ротация).

68. В правоъгълен триъгълник $ABC$, пресметнете стойността на $\text{tg } \alpha$, ако медианата към катета $a$ е перпендикулярна на медианата към хипотенузата $c$.

69. Намерете минималната стойност на израза $f(\alpha) = \text{tg } \alpha + \text{cotg } \alpha$ за остър ъгъл $\alpha$. Кога се постига тя?

70. Даден е квадрат $ABCD$. Точка $E$ е среда на $BC$, а точка $F$ лежи на $CD$ така, че $CF = \frac{1}{3} CD$. Намерете $\cos(\angle EAF)$.

Как да подходиш към тези задачи?

• За задачи 51-55: Работи алгебрично. Не търси ъгъла в градуси, а търси връзката между функциите.

• За задачи 56-64: Чертай голяма и чиста фигура. Почти винаги трябва да изразиш една и съща отсечка (например височината) по два различни начина и да ги изравниш.

• За задачи 65-70: Те изискват „външно“ мислене. Не се страхувай да добавяш помощни линии извън фигурата.