Питагорова теорема - Школа по математика София-Мат

Питагоровата теорема е не просто една от най-старите (от древен Вавилон!), но и една от най-красивите зависимости в математиката. Тя свързва алгебрата с геометрията по следния начин:

Във всеки правоъгълен триъгълник (триъгълник с един ъгъл от $90^\circ$ ):

Площта на квадрата, построен върху хипотенузата (най-дългата страна), е равна на сбора от площите на квадратите, построени върху катетите.

Ако катетите са $a$ и $b$, а хипотенузата е $c$, уравнението е:

a^2 + b^2 = c^2

Тоеремата (теорема означава доказано твърдение) носи името на древногръцкия философ-математик Питагор, защото той първи я доказва. Съществуват стотици доказателства на тази теорема, но ето две от най-интересните и интуитивни.

А. Визуалното доказателство (Метод на пренареждането)

Това е може би най-старото и ясно доказателство.

Представете си голям квадрат със страна $(a+b)$ .
В него поставяме 4 еднакви правоъгълни триъгълника (с катети $a$ и $b$ ).
Подреждаме триъгълниците в ъглите. В средата остава празен квадрат със страна $c$ (хипотенузата). Неговата площ е $c^2$ .
Пренареждаме същите 4 триъгълника в правоъгълници. Празното място, което остава, се оформя като два по-малки квадрата със страни $a$ и $b$ . Техните площи са $a^2$ и $b^2$ .

Тъй като общата площ и броят на триъгълниците не се променят, празното пространство в двата случая трябва да е равно: $c^2 = a^2 + b^2$ .

Б. „Президентското доказателство“ (Джеймс Гарфийлд)

автор: Krishnachandranvn

20-ият президент на САЩ, Джеймс Гарфийлд, е бил любител-математик. През 1876 г. той публикува свое оригинално доказателство, докато е член на Конгреса.

Той използва трапец, съставен от два правоъгълни триъгълника и половината от квадрата на хипотенузата.

Изчислява лицето на трапеца по стандартната формула: $\frac{a+b}{2} \cdot (a+b)$ .
Изчислява лицето като сбор от трите триъгълника вътре.
Приравнява двата израза и след опростяване… Питагоровата теорема излиза наяве.

Питагорови тройки

Питагоровите тройки са групи от три цели числа, които удовлетворяват уравнението. Ето списък с 10 от най-полезните и често срещани (примитивни) тройки, които е добре да имате под ръка:

a	b	c	Проверка
3	4	5	$9 + 16 = 25$
5	12	13	$25 + 144 = 169$
8	15	17	$64 + 225 = 289$
7	24	25	$49 + 576 = 625$
20	21	29	$400 + 441 = 841$
12	35	37	$144 + 1225 = 1369$
9	40	41	$81 + 1600 = 1681$
28	45	53	$784 + 2025 = 2809$
11	60	61	$121 + 3600 = 3721$
16	63	65	$256 + 3969 = 4225$

Трик, който трябва да запомните е, че можете да умножавате всяка тройка с число и ще получите друга такава. Например (3,4,5), умножена с 2 ще даде (6, 8, 10). Проверете дали изпълняват Теоремата.

(За любопитни) Генератор на тройки: Формулата на Евклид

Формулата на Евклид генерира тройки от всеки две произволни цели числа $m$ и $n$ (където $m > n > 0$ ).

Формулите са:

a = m^2 - n^2

b = 2mn

c = m^2 + n^2

Бърз пример:

Ако изберете $m=4$ и $n=1$:

$a = 4^2 - 1^2 = 16 - 1 = \mathbf{15}$
$b = 2 \cdot 4 \cdot 1 = \mathbf{8}$
$c = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = \mathbf{17}$

И така получаваме тройката $(8, 15, 17)$ , която е в нашата таблица по-горе. Този метод гарантира, че $a^2 + b^2$ винаги ще е равно на $c^2$ .

(Допълнително) Корен квадратен

Можем да погледнем на корена квадратен като на „обратната операция“ на вдигането на квадрат. Ако вдигането на квадрат е строене на къща, то коренът квадратен е разглобяването ѝ, за да видим каква е била основата.

Корен квадратен от едно число $x$ е такова число $y$ , което, умножено само по себе си, ни дава първоначалното число $x$ .

Символът е $\sqrt{}$ (наречен радикал).

Пример:

$\sqrt{25} = 5$, защото $5 \times 5 = 25$.

Връзката с Питагоровата теорема

В геометрията коренът квадратен е вашият най-добър приятел. Когато изчислите $a^2 + b^2$ и получите резултат за $c^2$ , ви трябва корен квадратен, за да намерите реалната дължина на страната $c$ .

Ако $c^2 = 100$ , то $c = \sqrt{100} = 10$ .

‘Красиви’ и ‘грозни’ корени

Математиците ги делят на две основни групи:

Точни (красиви) квадрати: Числа, чийто корен е цяло число.
- $\sqrt{1} = 1$
- $\sqrt{4} = 2$
- $\sqrt{9} = 3$
- $\sqrt{16} = 4$ … и така нататък.
Ирационални числа: Числа, чийто корен е безкрайна, непериодична дроб.
- $\sqrt{2} \approx 1.41$
- $\sqrt{3} \approx 1.73$
- $\sqrt{10} \approx 3.16$

Пробвай сам:

Ниво 1: Точни квадрати (Основни)

Тук търсим цели числа. Тези трябва да се знаят „насън“!

Корен от 64: Пресметнете $\sqrt{64}$ .
Корен от 121: Пресметнете $\sqrt{121}$ .
Корен от 400: Пресметнете $\sqrt{400}$ .

Ниво 2: Рационални дроби и десетични числа

Коренът не винаги е цяло число, но може да бъде ‘красива’ дроб.

Дроби: Пресметнете $\sqrt{\frac{9}{16}}$ .
Десетични числа: Пресметнете $\sqrt{0,25}$ .
Големи числа: Пресметнете $\sqrt{1,44}$ .

Задачи от Питагорова теорема

Ниво 1: Основни изчисления

1. Намиране на хипотенуза в правоъгълен триъгълник:

а) Катетите са $a = 5$ см и $b = 12$ см. Намерете $c$ .
б) Катетите са $a = 8$ см и $b = 15$ см. Намерете $c$ .
в) Катетите са $a = 20$ см и $b = 21$ см. Намерете $c$ .

2. Намиране на катет:

а) Хипотенузата е $c = 10$ см, а катетът $a = 6$ см. Намерете $b$ .
б) Хипотенузата е $c = 17$ см, а катетът $a = 8$ см. Намерете $b$ .
в) Хипотенузата е $c = 41$ см, а катетът $a = 9$ см. Намерете $b$ .

3. Равнобедрен правоъгълен триъгълник ( $a = b$ ):

а) Катетите са по $1$ см. Колко е хипотенузата?
б) Катетите са по $5$ см. Колко е хипотенузата?
в) Хипотенузата е $10\sqrt{2}$ см. Колко са дълги катетите?

4. Диагонал на правоъгълник:

а) Правоъгълник със страни $24$ см и $7$ см. Намерете диагонала.
б) Екран на таблет има страни $12$ см и $16$ см. Колко см е диагоналът му?
в) Страните на правоъгълник са $5$ см и $10$ см. Намерете диагонала (оставете отговора под корен).

5. Равнобедрен триъгълник (Височина $h$ към основата):

а) Бедро $5$ см, основа $6$ см. Намерете височината $h$ . (Внимание: работи се с половината основа!)
б) Бедро $25$ см, основа $14$ см. Намерете височината $h$ .
в) Височината е $12$ см, а основата е $10$ см. Намерете дължината на бедрото.

6. Стълба към небето (Практическа геометрия):

а) Стълба, дълга $13$ м, е подпряна на стена. Долната ѝ част е на $5$ м от стената. Докъде достига тя?
б) Стълба достига височина $24$ м на една сграда. Ако основата ѝ е на $7$ м от сградата, колко е дълга стълбата?
в) Стълба с дължина $10$ м е подпряна така, че горният ѝ край е на $8$ м височина. На колко метра от стената е долният ѝ край?

7. Корабоплаване (Движение в равнината):

а) Самолет лети $40$ км на Юг, после завива на Запад и лети $9$ км. Колко е разстоянието от старта?
б) Турист изминава $12$ км на Изток, после $5$ км на Север. На какво разстояние е от началната точка?
в) Велосипедист кара $24$ км на Север, после завива и кара на Изток. Ако в края се намира на $25$ км от старта, колко е изминал на Изток?

8. Проверка на ъгъл (Обратна Питагорова теорема):

а) Страните на триъгълник са $12, 16, 20$ . Правоъгълен ли е той?
б) Страните на триъгълник са $4, 5, 6$ . Правоъгълен ли е той?
в) Страните на триъгълник са $20, 99, 101$ . Правоъгълен ли е той?

Ниво 2:

Предизвикателство с Евклид: Използвайте формулата на Евклид със стойности $m = 5$ и $n = 2$ , за да генерирате Питагорова тройка. Проверете дали получените числа наистина изпълняват условието $a^2 + b^2 = c^2$ .
Диагонал на правоъгълник: Правоъгълно игрище има дължина 40 метра и ширина 30 метра. Колко метра ще спестите, ако минете по диагонала от единия ъгъл до другия, вместо да вървите по двете му страни?
Изолиран триъгълник: Намерете хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник, чийто катети са по $4$ см.
Лице на равнобедрен триъгълник: Равнобедрен триъгълник има основа 16 см и бедро 10 см. Намерете лицето на триъгълника.
Обиколка на ромб: Диагоналите на ромб са 12 см и 16 см. Намерете страната на ромба и неговата обиколка.
Квадрат в окръжност: Окръжност има радиус 5 см. В нея е вписан квадрат, чийто диагонал съвпада с диаметъра на окръжността. Намерете лицето на квадрата.
Пожарната стълба: Пожарна кола е паркирана на 8 метра от висока сграда. Стълбата на колата е дълга 17 метра. До кой етаж ще достигне тя, ако всеки етаж е висок по 3 метра?
Закаченото хвърчило: Хвърчилото на Иван се е закачило на върха на едно дърво. Иван е развил 25 метра корда и стои на 15 метра от основата на дървото. Колко високо е дървото?
Телевизорът: Мартин иска да си купи телевизор, който да се събере в ниша с ширина 80 см. В магазина вижда модел с диагонал 100 см и височина 60 см. Ще се събере ли телевизорът в нишата?
Разстояние между точки: В координатна система са дадени точките $A(1, 1)$ и $B(4, 5)$. Намерете разстоянието между двете точки.
Проверка за правоъгълник: Една малка градина има форма на триъгълник със страни 1.5 м, 2 м и 2.5 м. Може ли собственикът да я облицова с правоъгълни плочки (ще може, ако в нея има поне един прав ъгъл)?
Квадратна мрежа: В квадратна мрежа (където всяко квадратче е със страна 1 см) е начертана отсечка, която свързва два възела. Тя преминава през 3 квадратчета надясно и 4 квадратчета нагоре. Колко е дълга отсечката?

Ниво 3:

Квадрат: Намерете страната на квадрат, чийто диагонал е $10\sqrt{2}$ см.
Диагонал на куб: Имате куб със страна $a = 6$ см. Намерете дължината на пространствения диагонал (отсечката, свързваща два срещуположни върха, преминаваща през вътрешността на куба).
Ромб: Периметърът на един ромб е 40 см, а единият му диагонал е 12 см. Намерете дължината на другия диагонал и лицето на ромба.
Равнобедрен трапец: Даден е равнобедрен трапец с основи 20 см и 12 см и бедро 5 см. Намерете височината на трапеца и неговия диагонал.
Пакетът: Имате кутия с размери 30х40х50 см. Можете ли да поставите в нея тънка метална пръчка с дължина 72 см?
Пречупеното дърво: Дърво с височина 18 метра се пречупва по време на буря така, че върхът му докосва земята на 6 метра от основата. На каква височина от земята се е пречупило дървото?
Средно геометрично: Височината към хипотенузата в правоъгълен триъгълник я разделя на две части с дължини 9 см и 16 см. Намерете височината и страните на триъгълника.
Неизвестни страни: Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е с 2 см по-дълга от единия катет и с 4 см по-дълга от другия. Намерете дължините на трите страни.