1. Перпендикулярност на права и равнина
Дефиниция: Права $a$ е перпендикулярна на равнина $\alpha$, ако е перпендикулярна на всяка права от равнината $\alpha$, която минава през пресечната им точка $A$.
-
Символично се означава: $a \perp \alpha$.
-
Точката $A$ се нарича пета на перпендикуляра.
Признак за Перпендикулярност:
За да бъде една права перпендикулярна на дадена равнина, е достатъчно тя да е перпендикулярна само на две пресичащи се прави в тази равнина.
-
Ако $a$ и $b$ са две пресичащи се прави в равнината $\alpha$ ($a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$, $a \cap b = A$), и права $m$ минава през $A$ и е перпендикулярна на $a$ и на $b$ ($m \perp a$ и $m \perp b$), то правата $m$ е перпендикулярна на равнината $\alpha$ ($m \perp \alpha$).
2. Теорема за трите перпендикуляра
Теоремата за трите перпендикуляра свързва перпендикулярността в пространството с перпендикулярността в равнината. Тя е един от най-важните инструменти за доказване на перпендикулярност между прави в пространството, особено когато едната права лежи в равнина, а другата е наклонена към нея.
Нека е дадена равнина $\alpha$ и точка $M$ извън нея. Нека $M O$ е перпендикулярът от $M$ към $\alpha$ ($O$ е петата на перпендикуляра).
-
Права $m$ лежи в равнината $\alpha$ ($m \subset \alpha$).
-
$M A$ е наклонена от точка $M$ към равнината $\alpha$ ($A \in m$).
-
$O A$ е ортогоналната проекция на наклонената $M A$ върху равнината $\alpha$.
Теоремата гласи:
-
Права, която лежи в равнината, е перпендикулярна на наклонената тогава и само тогава, когато е перпендикулярна на нейната проекция.
1. Права част (Прав извод)
Ако права $m$ от равнината $\alpha$ е перпендикулярна на проекцията $O A$ ($m \perp O A$), то тя е перпендикулярна и на наклонената $M A$ ($m \perp M A$).
2. Обратна част (Обратен извод)
Ако права $m$ от равнината $\alpha$ е перпендикулярна на наклонената $M A$ ($m \perp M A$), то тя е перпендикулярна и на проекцията $O A$ ($m \perp O A$).
Приложение:
Теоремата за трите перпендикуляра се използва широко за:
-
Намиране на разстоянието от точка до права в пространството.
-
Доказване на перпендикулярност между прави в пирамиди и други тела.
-
Намиране на ъгъла между права и равнина.
Основни задачи
1. Задачи за доказване на перпендикулярност
Тези задачи изискват да докажете, че дадена права е перпендикулярна на друга права или на равнина, като използвате признака за перпендикулярност или теоремата за трите перпендикуляра.
-
Доказване на $m \perp \alpha$:
-
Трябва да докажете, че правата $m$ е перпендикулярна на две пресичащи се прави $a$ и $b$, лежащи в равнината $\alpha$.
-
Пример: Докажете, че околният ръб на правилна пирамида е перпендикулярен на диагонала на основата.
-
-
Доказване на $m \perp n$ в пространството (с ТТП):
-
Използва се Теоремата за трите перпендикуляра (ТТП), когато едната права $m$ е наклонена към равнина $\alpha$, а правата $n$ лежи в $\alpha$.
-
Цел: Доказва се перпендикулярност на $n$ с проекцията на $m$ (за да се докаже $n \perp m$) или обратно.
-
Пример: Дадена е точка $M$ извън равнина $\alpha$. Права $m$ в $\alpha$ е перпендикулярна на проекцията $OA$. Докажете, че $m$ е перпендикулярна на наклонената $MA$.
-
2. Задачи за намиране на разстояния
Намирането на разстояние в пространството често се свежда до намиране на дължината на перпендикуляр.
-
Разстояние от точка $M$ до равнина $\alpha$ ($d(M, \alpha)$):
-
Това е дължината на перпендикуляра $MO$ от точката до равнината.
-
Често се използва Питагоровата теорема или метрични зависимости в правоъгълни триъгълници.
-
Пример: Да се намери височината на пирамида или призма.
-
-
Разстояние от точка $M$ до права $a$ ($d(M, a)$):
-
Това е дължината на отсечката $MA$, където $A \in a$ и $MA \perp a$.
-
В много случаи, за да се построи правилно перпендикулярът $MA$, се използва обратната част на ТТП. Перпендикулярът $MA$ се оказва наклонена към друга равнина, а неговата проекция е перпендикулярна на правата $a$.
-
Пример: Да се намери разстоянието от върха на пирамида до околен ръб или до страна на основата.
-
3. Задачи за намиране на ъгли
Ъглите в стереометрията се дефинират чрез перпендикуляри и проекции.
-
Ъгъл между права $m$ и равнина $\alpha$ ($\sphericalangle(m, \alpha)$):
-
Това е ъгълът между правата $m$ и нейната ортогонална проекция $m’$ в равнината $\alpha$.
-
Ако $M A$ е наклонена, а $O A$ е проекцията ѝ, то $\sphericalangle(M A, \alpha) = \sphericalangle M A O$.
-
За намирането му се използват тригонометрични функции в правоъгълния триъгълник $M O A$, където $MO \perp O A$.
-
-
Ъгъл между две равнини (диедър):
-
Измерва се като ъгъл между две прави $a$ и $b$, всяка от които лежи в една от равнините и е перпендикулярна на общата им права (кант).
-
Често построяването на тези перпендикуляри също изисква прилагане на ТТП.
-
Пример: Да се намери ъгълът между околна стена и основата на пирамида.
-
В обобщение, Теоремата за трите перпендикуляра е ключова за правилното построяване и изчисляване на разстояния и ъгли, тъй като тя е гарант за перпендикулярността в много пространствени фигури.
Разбира се! Ето 10 примерни задачи по темите за Перпендикулярност на права и равнина и Теоремата за трите перпендикуляра (ТТП), подредени по трудност и тип:
Задачи за перпендикулярност и ТТП
Група I: Основни доказателства и признак
Задача 1 (Доказване на $m \perp \alpha$) Даден е квадрат $A B C D$ и точка $M$ извън равнината му, такава че $M A = M B = M C = M D$. Ако $O$ е пресечната точка на диагоналите $A C$ и $B D$, докажете, че правата $M O$ е перпендикулярна на равнината на квадрата $(A B C D)$.
Задача 2 (Приложение на признака) Даден е правоъгълен триъгълник $A B C$ с прав ъгъл при върха $C$. През върха $A$ е прекарана права $m$, перпендикулярна на равнината на триъгълника. Докажете, че $C B \perp m$.
Задача 3 (Определяне на равнина) Права $a$ е перпендикулярна на равнина $\alpha$. Права $b$ е успоредна на $a$. Докажете, че $b$ също е перпендикулярна на равнината $\alpha$.
Група II: Приложение на ТТП за доказване
Задача 4 (Права част на ТТП) Даден е правоъгълник $A B C D$. През върха $D$ е издигнат перпендикуляр $D M$ към равнината на правоъгълника. Докажете, че $B C \perp M C$.
Задача 5 (Обратна част на ТТП) Даден е равнобедрен триъгълник $A B C$ с основа $A B$. Точка $P$ е извън равнината на триъгълника и $P C \perp (A B C)$. Ако $M$ е средата на $A B$, докажете, че ако $P M \perp A B$, то $C M \perp A B$.
Задача 6 (Доказване на перпендикулярност на равнини) Права $m$ е перпендикулярна на равнина $\alpha$. Права $a$ лежи в $\alpha$. Докажете, че равнината, определена от правите $m$ и $a$, е перпендикулярна на всяка права $b$ от равнината $\alpha$, която е перпендикулярна на $a$.
Група III: Намиране на Разстояния и Ъгли
Задача 7 (Разстояние от точка до равнина). Дадена е правилна четириъгълна пирамида $A B C D M$ с основа $A B C D$. Основният ръб е $a = 6 \text{ см}$, а околният ръб е $l = 5 \text{ см}$. Намерете височината на пирамидата $M O$, където $O$ е центърът на основата.
Задача 8 (Разстояние от точка до права – с ТТП). Даден е правоъгълен триъгълник $A B C$ с катети $A C = 6 \text{ см}$ и $B C = 8 \text{ см}$. През върха $C$ е издигнат перпендикуляр $C M = 12 \text{ см}$ към равнината на триъгълника. Намерете разстоянието от точка $M$ до хипотенузата $A B$.
Задача 9 (Ъгъл между права и равнина). Даден е куб $A B C D A_1 B_1 C_1 D_1$ с ръб $a$. Намерете тангенса на ъгъла $\varphi$ между диагонала $B D_1$ и равнината на основата $(A B C D)$.
Задача 10 (Ъгъл между две равнини – с ТТП). Даден е равнобедрен триъгълник $A B C$ с основа $A B = 10 \text{ см}$ и бедро $A C = B C = 13 \text{ см}$. През основата $A B$ е прекарана равнина $\alpha$. Точка $C$ отстои на $12 \text{ см}$ от равнината $\alpha$. Намерете синуса на ъгъла $\varphi$ между равнината на триъгълника $(A B C)$ и равнината $\alpha$.
