Продължете към съдържанието

Стандартен запис

Стандартният запис на число (често наричан „научен запис“) е изключително полезен инструмент в математиката, физиката и други науки. Той ни позволява да работим лесно с много големи или много малки числа, без да се налага да пишем безкрайни нули.

Какво представлява стандартният запис?

Всяко положително число може да бъде записано в стандартен вид по следния начин:

$$a \cdot 10^n$$

Където:

  • $a$ се нарича мантиса. Важното правило е, че $a$ трябва да бъде число в интервала $[1; 10)$. Тоест, $1 \le a < 10$ (може да е 1, но трябва да е строго по-малко от 10).

  • $n$ се нарича показател (или порядък) и е цяло число (положително или отрицателно).

Основното правило: Десетичната запетая се премества така, че преди нея да остане само една цифра, различна от нула.

Защо и къде се използва?

Стандартният запис прави сравняването и пресмятането на числа много по-лесно.

  1. Астрономия (Много големи числа):

    • Разстоянието от Земята до Слънцето е около 149 600 000 км.

    • В стандартен запис: $1.496 \cdot 10^8$ км.

  2. Биология и Химия (Много малки числа):

    • Размерът на един грипен вирус е около 0.0000001 метра.

    • В стандартен запис: $1 \cdot 10^{-7}$ метра.

Как да преобразуваме числа?

Ето лесния начин да запомниш как да определяш показателя $n$:

  • Ако числото е голямо (по-голямо от 10): Местим запетаята на ляво. Показателят $n$ е положителен и е равен на броя на преместванията.

  • Ако числото е малко (по-малко от 1): Местим запетаята на дясно. Показателят $n$ е отрицателен и е равен на броя на преместванията.

Число Посока на запетаята Брой места Стандартен запис
5400 Наляво ($\leftarrow$) 3 $5.4 \cdot 10^3$
0.0032 Надясно ($\rightarrow$) 3 $3.2 \cdot 10^{-3}$
7 Няма движение 0 $7 \cdot 10^0$

Примерни задачи с решения

Ето няколко задачи, които илюстрират как се работи със стандартен запис, включително преобразуване и корекция.

Задача 1: Превърнете в стандартен запис

Условие: Запишете числото 12 300 000 в стандартен вид.

Решение:

  1. Търсим къде да сложим запетаята, за да получим число между 1 и 10. Това е между 1 и 2 ($1.23$).

  2. Броим колко позиции сме преместили запетаята от края на числото наляво.

  3. Преместили сме я със 7 позиции.

Отговор:

$$1.23 \cdot 10^7$$

Задача 2: Превърнете малко число

Условие: Запишете числото 0.000056 в стандартен вид.

Решение:

  1. Местим запетаята надясно, докато получим число между 1 и 10. Това е след цифрата 5 ($5.6$).

  2. Броим преместванията: 1, 2, 3, 4, 5 позиции.

  3. Тъй като числото е малко (< 1), показателят е отрицателен.

Отговор:

$$5.6 \cdot 10^{-5}$$

Задача 3: Умножение на числа в стандартен запис

Условие: Пресметнете $(2 \cdot 10^3) \cdot (4 \cdot 10^5)$.

Решение:

  1. Умножаваме мантисите (числата отпред): $2 \cdot 4 = 8$.

  2. Умножаваме степените (събираме показателите): $10^3 \cdot 10^5 = 10^{3+5} = 10^8$.

Отговор:

$$8 \cdot 10^8$$

Част 1: Основни задачи (Основи и преобразуване)

Цел: Да свикнеш с превръщането от обикновен в стандартен запис и обратно.

  1. Социални мрежи: Един популярен видеоклип в YouTube има 2 400 000 000 гледания. Запиши това число в стандартен вид.

  2. Микросвят: Диаметърът на една червена кръвна клетка е приблизително 0.0000075 метра. Запиши го в стандартен вид.

  3. Богатство: Състоянието на един от най-богатите хора в света се оценява на 185 милиарда долара. Запиши сумата в стандартен вид (в долари).

  4. Компютри: Скоростта на твърдия диск е такава, че обработва информация за 0.000012 секунди. Представи това време чрез стандартен запис.

  5. Разстояние: Разстоянието от София до Ню Йорк е около 7600 км. Превърни това разстояние в метри и запиши резултата в стандартен вид.

  6. Обратна задача: Дебелината на лист хартия е $1.05 \cdot 10^{-4}$ метра. Запиши това като десетична дроб.

  7. Обратна задача: Възрастта на Земята е приблизително $4.54 \cdot 10^9$ години. Запиши това число като цяло число (с всичките нули).

  8. Корекция: Числото $345 \cdot 10^5$ не е в стандартен запис (защото 345 > 10). Преобразувай го в правилен стандартен вид.

  9. Корекция: Числото $0.09 \cdot 10^{-3}$ не е в стандартен запис. Преобразувай го.

  10. Сравнение: Кое число е по-голямо: $5.1 \cdot 10^4$ или $9.8 \cdot 10^3$?

Част 2: Разширени задачи (Приложни и многостъпкови)

Цел: Да използваш правилата за умножение и деление със степени за решаване на реални казуси.

  1. Сърдечен ритъм (Живот в удари): Сърцето на човек бие средно 70 пъти в минута. Ако един човек живее 80 години, колко пъти ще е ударило сърцето му? Запиши отговора в стандартен вид.
  2. Скоростта на светлината: Светлината се движи със скорост $3 \cdot 10^8$ м/с. Разстоянието от Земята до Слънцето е $1.5 \cdot 10^{11}$ метра. За колко секунди светлината стига от Слънцето до Земята?
  3. Водна криза: В една капка вода има приблизително $1.7 \cdot 10^{21}$ водни молекули. Ако в една чаша има 5000 капки, колко молекули има в чашата общо?
  4. Национален дълг: Да предположим, че държавният дълг на една страна е $2.8 \cdot 10^{13}$ долара, а населението ѝ е $3.5 \cdot 10^8$ души. Ако дългът се раздели поравно, колко долара дължи всеки човек
  5. Космически мащаби: Масата на Земята е $5.97 \cdot 10^{24}$ кг, а масата на Слънцето е $1.99 \cdot 10^{30}$ кг. Приблизително колко пъти Слънцето е по-тежко от Земята?
  6. Дигитална памет: Един гигабайт (GB) е $1 \cdot 10^9$ байта. Един терабайт (TB) е $1000$ GB. Ако имаш хард диск от 4 TB, колко байта информация събира той? Запиши в стандартен вид.
  7. Дебелина на петролен разлив: Един танкер разлива обем нефт $V = 3 \cdot 10^3$ кубични метра. Нефтът се разстила върху повърхността на морето и образува петно с площ $S = 6 \cdot 10^7$ квадратни метра. Колко е дебел слоят нефт (в метри)?
  8. Астрономическа единица: Една светлинна година е разстоянието, което светлината изминава за 1 година. Скорост на светлината: $3 \cdot 10^5$ км/сек. Секунди в една година: приблизително $3.15 \cdot 10^7$ сек. Пресметни колко километра е една светлинна година в стандартен запис.
  9. Човешкото тяло: В човешкото тяло има около $3.7 \cdot 10^{13}$ клетки. Всяка клетка съдържа ДНК верига с дължина около 2 метра. Ако извадим ДНК от всички клетки и я подредим в една линия, колко метра ще е дълга тя? (Отговор в стандартен запис).
  10. Google търсене: Google обработва около $9.9 \cdot 10^4$ търсения всяка секунда. Колко търсения се обработват за едно денонощие?

© София-Мат ЕООД

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отговори

Основни:

  1. $2.4 \cdot 10^9$

  2. $7.5 \cdot 10^{-6}$ m

  3. $1.85 \cdot 10^{11}$ долара

  4. $1.2 \cdot 10^{-5}$ s

  5. $7.6 \cdot 10^6$ m

  6. 0.000105

  7. 4 540 000 000

  8. $3.45 \cdot 10^7$ (местим запетаята с още 2 наляво, добавяме 2 към степента)

  9. $9 \cdot 10^{-5}$ (местим запетаята с 2 надясно, вадим 2 от степента: $-3 – 2 = -5$)

  10. $5.1 \cdot 10^4$ е по-голямо (защото $10^4 > 10^3$).

Разширени:

11. $\approx 2.94 \cdot 10^9$ удара.

12. $5 \cdot 10^2$ секунди (или 500 секунди $\approx$ 8 минути и 20 сек).

13. $8.5 \cdot 10^{24}$ молекули (защото $5000 = 5 \cdot 10^3$).

14. $8 \cdot 10^4$ долара (или 80 000 долара на човек).

15. $\approx 3.33 \cdot 10^5$ пъти (333 000 пъти).

16. $4 \cdot 10^{12}$ байта.

17. $5 \cdot 10^{-5}$ метра (или 0.05 милиметра).

18. $9.45 \cdot 10^{12}$ километра.

19. $7.4 \cdot 10^{13}$ метра.

20. $\approx 8.55 \cdot 10^9$ търсения.

Facebook
X (Twitter)
Copy link
URL has been copied successfully!