Проста и сложна лихва

Тази тема е ключът към умножаването на спестяванията и управлението на дълговете.

I. Теория и формули

Ще използваме следните означения:

• $K_0$ — Начална сума (Главница).

• $i$ — Лихвен процент (изразен като десетична дроб, напр. 5% = 0.05).

• $n$ — Период от време (години, месеци).

• $K_n$ — Крайна сума след периода $n$.

1. Проста лихва (Simple Interest)

При простата лихва, лихвата се начислява само върху първоначалната главница всеки път. Сумата на лихвата е една и съща за всеки период.

Формула:

Използва се често при: краткосрочни заеми, потребителски кредити.

2. Сложна лихва (Compound Interest)

При сложната лихва, лихвата се начислява върху главницата плюс натрупаната до момента лихва (лихва върху лихва). Парите растат експоненциално.

Формула:

Използва се често при: спестовни влогове, депозити, инвестиции, ипотеки.

II. Решени примери

Нека сравним двете лихви с еднакви параметри.

Параметри:

• Влагате 10,000 лв. ($K_0$)

• Лихвен процент: 5% ($i = 0.05$)

• Период: 3 години ($n = 3$)

Пример 1: Решение с Проста лихва

Тук всяка година получавате 5% от 10,000 лв. (т.е. 500 лв.).

(Печалба: 1,500 лв.)

Пример 2: Решение със Сложна лихва

Тук първата година взимате 500 лв., но втората година взимате 5% върху 10,500 лв., и т.н.

(Печалба: 1,576.25 лв. — разликата е 76.25 лв. само за 3 години!)

III. 10 Основни задачи

1. Влагате 5,000 лв. при проста лихва 4% за 2 години. Каква е крайната сума?

2. Имате депозит от 2,000 лв. при сложна лихва 3% за 5 години. Изчислете крайната сума.

3. Колко лихва (само печалбата) ще получите от 10,000 лв. при 6% проста лихва за 6 месеца? (Упътване: $n = 0.5$).

4. Ако крайната сума е 1,200 лв., а началната е 1,000 лв., и парите са престояли 2 години на проста лихва, какъв е бил лихвеният процент?

5. Изчислете $K_n$, ако $K_0 = 100$, $i = 10\%$, $n = 2$ (сложна лихва).

6. Коя сума е по-голяма след 1 година: 1,000 лв. на 10% проста лихва или 1,000 лв. на 10% сложна лихва? (Уловка: за 1 период резултатът е еднакъв).

7. Инвестирате 500 лв. при 7% сложна лихва за 10 години.

8. Вземате заем от 3,000 лв. за 4 години при 15% проста лихва. Колко общо трябва да върнете?

9. Колко години са нужни, за да се удвои сума при 100% проста лихва?

10. Пресметнете натрупването на 1 лв. за 100 години при 5% сложна лихва.

IV. 20 Разширени и комбинирани задачи

Група А: Честота на капитализиране (По-сложни формули)

Упътване: Когато лихвата е годишна, но се начислява всеки месец, формулата за сложна лихва е $K_n = K_0(1 + \frac{i}{m})^{n \cdot m}$, където $m$ е броят начисления в годината.

11. Месечно олихвяване: Влагате 10,000 лв. при 6% годишна лихва, но банката начислява лихвата всеки месец ($m=12$). Каква е сумата след 1 година?

12. Кредитна карта: Имате дълг от 2,000 лв. с 18% годишна лихва, която се начислява ежедневно ($m=365$). Колко ще дължите след 1 година, ако не плащате нищо?

13. Сравнение на банки: Банка А предлага 5.2% с годишно капитализиране. Банка Б предлага 5.0%, но с месечно капитализиране. Коя оферта е по-изгодна за срок от 1 година?

Група Б: Инфлация и Данъци

14. Реална доходност: Имате инвестиция с 8% сложна лихва за 1 година. Инфлацията за тази година е 5%. С колко процента реално се е увеличила покупателната ви способност?

15. Данък печалба: В България има 8% данък върху лихвите по депозити (примерно). Влагате 10,000 лв. при 5% лихва. Каква е чистата сума, която ще получите след 1 година след облагането?

16. Обезценяване (Depreciation): Купувате кола за 30,000 лв. Тя губи стойност (отрицателна сложна лихва) с 15% на година. Колко ще струва след 5 години?

Група В: „Намери Х“ (Обратни задачи)

17. Правилото на 72: Приблизително за колко години ще се удвоят парите ви при 6% сложна лихва? (Използвайте правилото $72 / i$). Проверете с точната формула.

18. Целева сума: Искате да имате 50,000 лв. след 10 години, за да купите вила. Лихвата е 7% (сложна). Колко пари трябва да вложите днес ($K_0$)?

19. Откриване на лихвата: Вложили сте 1,000 лв. и след 2 години имате 1,210 лв. (сложна лихва). Какъв е бил годишният лихвен процент?

20. Логаритми: Имате 5,000 лв. и искате те да станат 10,000 лв. при 10% сложна лихва. Решете уравнението за $n$, използвайки логаритъм.

Група Г: Финансови сценарии и комбинации

21. Проста vs Сложна (Дълъг период): Направете графика или таблица за 1 лв. при 10% проста и 10% сложна лихва за 1, 10, 20 и 30 години. Къде разликата става драстична?

22. Закъснял старт: Иван започва да инвестира по 1000 лв. на 20-годишна възраст. Петър започва на 30-годишна възраст със същата сума и лихва. Може ли Петър някога да настигне Иван само чрез лихвата? (Концептуална задача).

23. Променлива лихва: Влагате 1000 лв. Първата година лихвата е 5%, втората година пада на 2%, а третата се вдига на 10% (всички са сложни). Каква е крайната сума?

24. Заем с гратисен период: Теглите студентски заем 10,000 лв. Имате 4 години гратисен период (не плащате, но лихвата от 5% се трупа сложно). Колко ще е главницата в момента, в който започнете да плащате?

25. „Лихварска“ задача: Приятел ви иска 100 лв. и обещава да ви връща по 1 лв. всеки ден в продължение на 6 месеца (180 дни). Изчислете каква годишна проста лихва представлява това?

26. Валутен риск: Влагате 1000 евро при 2% лихва. Курсът на еврото спрямо долара се променя с 10% в полза на еврото. Каква е доходността ви, преизчислена в долари?

27. Ефективен годишен процент (ЕГП): Бърз кредит рекламира „само 3% лихва на месец“. Колко е това като годишна сложна лихва? (Hint: $(1.03)^{12} – 1$).

28. Пенсионен фонд (Анюитет): Вместо една сума, внасяте по 1,000 лв. в края на всяка година при 5% лихва. Колко пари ще имате след 3 години? (Сума на геометрична прогресия).

29. Инфлация срещу Доходност: Ако държите парите си „под матрака“ (0% лихва) при 3% годишна инфлация, колко % от стойността си ще са загубили след 10 години?

30. Задачата на Бенджамин Франклин: Той завещава 1000 паунда на Бостън и Филаделфия с условие да не се пипат 100 години. При средна лихва от 4%, пресметнете каква е била сумата след 100 години.